[概率]包剪揼難題-----------------

咁諗啦...
先假設遊戲在1回合後結束,
2人=>2/3 (1win)
3人=>1/3 (1win)
4人=>1/3 (1win)
.
.
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假設遊戲在2回合後結束,
2人=>(1/3)(2/3) (draw*1win)
3人=>(1/9)(1/3)+(1/3)(1/3) (draw*1win + 1lose*1win)
4人=>(1/27)(1/3)+(1/3)(1/3)+(2/9)(1/3) (draw*1win + 1lose*1win + 2lose*1win)
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.
.
假設遊戲在3回合後結束
2人=>(1/3)(1/3)(2/3) (draw*draw*1win)
3人=>(1/9)(1/9)(1/3)+(1/9)(1/3)(1/3)(2) (draw*draw*1win + draw*1lose*1win + 1lose*draw*1win)
4人...
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.
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如果有心機就繼續啦...因為題目可以無限個人...個期望值好煩

若人數已知 設n局勝出的概率為P(n) , 期望值為E(n)
則∫[0,E(n)] P(n) dn=1

反之 若局數為固定 設n人達成條件的概率為P(n) , 同樣能求出期望值
在這裏人數為變數 期望值亦可被定義

2014-07-25 20:30:26 補充：
本人對統計學的認識不深
作題時似乎對期望值的定義產生了誤解
顯然求人數 n 令 18 局剛完的概率最大
的表達較合適
亦多謝大家的意見 令我獲益不了

知足常樂，我撐你... 不是random variable就不能求其望值。

搵n既MLE值? numPlayers只是parameter,不是random variable.

Find n such that P(game end at 18 round|numPlayers = n) is maximized.

佢個問題既重點係:平手則進入下一回合,那理論上n的最少值為2,因為幾多回合己經沒有關係,只是例子為18回合,前面17回合可以是打和.第18回合才分勝負.

如果是"必需"有人被淘汰,才算進入下一回合,用每次肯定最少一人被淘汰,18回合才結束,那n的最少值是18+1=19人,

我諗冇人明白乜叫n的期望值是什麼.

有n人,那只能根據條件計算n的最少值是多少,因根據上述設定,n可以無限大.

2014-07-22 13:11:14 補充：
似係IQ題,用18個回合擾亂大家思維姐.

2014-07-22 13:11:48 補充：
似係IQ題,用18個回合擾亂大家思維姐.

你的題目在概念上是否有問題？

n 不是 random variable，怎能求其期望值？

若 M 為未知局數，n 倒像是一個參數 (parameter)，要用如 MLE (maximum likelihood estimation) 的方法以 realized value M = m 去算出 n 的估值。

2014-07-22 02:39:06 補充：
以上是統計學的概念。


本題似乎要用到 recursive 的 relation 去計算。

設不同的 states i ∈ {2, 3, 4, ..., n} 代表當前餘下的人數。

M(i) 代表 i 人的餘下回合數。

Boundary condition 是
M(2) = (2/3)(1) + (1/3)( M(2) + 1 )

二人情況，和（機會 3/9 = 1/3）則加一局重計。

要想很多 conditional expectation 才行啦．．．

2014-07-22 02:40:22 補充：
三人情況，可以一局結束，也可以變成二人情況，也可以保留三人情況。

．．．

提示：

於每個回合（設仍有 N 人），平手有兩個情況：

（１）全部N人也出同一款手勢

（２）三款手勢也有出現

2014-07-22 16:23:40 補充：
我則認為不是 IQ 題。

這是很好的高等概率題。

似乎是的確需要用到不同 states 的概念。

如果不問此題，也可以問相關的題目，若 人數已知，如 20 人，問需要得出唯一勝出者的局數的期望值。

也是一題好好的題目。

2014-07-22 22:12:33 補充：
好似無人理我以上的意見。

Expectation 一定要 on Random Variable。

2014-07-25 09:25:34 補充：
　∑∞　 您好～

照你的論述，遊戲在 18 回合後結束，我理解的意思是，剛在第 18 個回合後，唯一未敗的只有一人。
〔請先確定我的理解無誤。〕

如果是這樣，我則仍認為你求的不是期望值。
因為期望值 expectation 和 MLE 的意義是不同的。

這個誤會有少許像另一個學生常有的誤解： "a confidence interval is the probability the interval contains the parameter" (此句是錯誤的。)

其實 變數 (variable) 和 隨機變數 (random variable) 是不同的。

2014-07-25 09:29:38 補充：
我舉一例，討論一下閣下於 007 的意見：

你寫 ∫[0,E(n)] P(n) dn=1

在 discrete 的情況下，我演繹為 ∑[0,E(n)] P(n) = 1

我覺得恐有不妥，試探討一下。

若只有 2 人，局數 N ~ Geo(1/3)：

Pr(N = 1) = 1/3
Pr(N = 2) = (1/3)(2/3)
Pr(N = 3) = (1/3)(2/3)²
．．．
Pr(N = n) = (1/3)(2/3)ⁿ⁻¹

N 的 support 是 {1, 2, 3, ...}

我們知 E(N) = 3。

2014-07-25 09:33:53 補充：
表 P(n) = Pr(N = n)

但明顯地 P(1) + P(2) + P(3) ≠ 1。

所以我們要先搞清楚你指期望值一詞的意義。

同時，我們也要確定題目的意思，是否玩至僅有一人為止？
但 realized 出來剛好是 18 局，求人數 n 令 18 局剛完的概率最大？
如是者，求的就是 n 的 MLE。
並 n 不是 random variable。

所以我想先了解清楚。

〔但無論如何，本題及其引伸的情況也是一個好題，謝謝分享。〕

2014-07-25 09:39:59 補充：
更正 009 的意見：

因為九個情況之中，有三個是和局，結束局情況是六個。
所以完局概率 = 6/9 = 2/3

N ~ Geo(2/3)

P(n) = Pr(N = n) = (2/3)(1/3)ⁿ⁻¹ for n = 1, 2, 3, ...

E(N) = 3/2

這樣設定才對，那 ∫[0,E(n)] P(n) dn 能否得 1？
似乎也不能？

2014-07-26 02:06:09 補充：
謝謝你的澄清，那現在即是確定要找 MLE 了。

不打緊，每人也有自己較為熟悉的數學範疇。其實數學的範圍是很廣的，但都很有趣，有人喜歡代數學、有人鍾愛概率統計數學、有人醉心研究數論、有人擅長函數分析、有人精於數學分析，當中很多時候也有千絲萬縷的關係，各有千秋、各有所長。

希望這裏集大成，讓大家也可以多學一點知識。

你這題仍然是好題，並且不簡單。
你的發問一直都很有深度，我很喜歡，你給予機會大家獲益匪淺才對。
希望現在情況清晰之後，有更多高手可以指教一下。

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