關於 not uniformly continous的問題

認識相對論，不枉此生 ( 初學者 1 級):
continuity 和 Uniform continuity的區別在 WIKI
有非常好的描述，請參考:
http://en.wikipedia.org/wiki/Uniformly_continuous
中之Local continuity versus global uniform continuity條目
他用二個邏輯式來定義continuity 和uniform continuity，對照此二式，仔細看看，就知道不同在哪裡。

2014-07-23 13:58:04 補充：
* continuity 和 Uniform continuity的主要區別在一個是局部的(Local)，一個是全域的(global)。
continuity 的d值，只針對一點，嚴格寫應該要寫成d(e，x)才對，
不僅與e值有關，而且與x點有關；而Uniform continuity的d值，
針對所有的點，嚴格寫應該要寫成d(e)才對，只與e值有關，與(a，b)中之
特定點無關。

2014-07-24 02:17:39 補充：
＠我想再請教一下，區分了uniformly continuous 與continuous，在「實用上」有什麼樣的功用？
請參考我的facebook可以下載再看)
https://www.facebook.com/sam.guo.3762/media_set?set=a.811450065541389.1073741838.100000292108201&type=3

2014-07-24 03:24:51 補充：
f(x)=1/x on(1,2)均勻連續.[證明]對於任意之e，取d=e，對於任意之 x，y in (1，2)|x-y|< d則 |f(y)-f(x)|=|1/y – 1/x|=|x-y|/(xy)
{因為 x，y in (1，2)所以 1/(xy) <1}< |x-y| < d=e{注意 d取為e與x，y無關，只與e有關}所以 f(x)=1/x 在(1，2)上均勻連續。[證明完畢]

2014-07-24 03:33:36 補充：
至於
<問題>:f(x)=1/x is not uniformly continuous on(0,1).
有一種證法是
若給e，能找到d使
對於任意之 x，y in (0，1)
|x-y|< d
則 |f(y)-f(x)|





2014-07-24 03:40:54 補充：
至於
<問題>:f(x)=1/x is not uniformly continuous on(0,1).
有一種證法是:
假設:若給e，能找到d使
對於任意之 x，y in (0，1)
|x-y|< d
則 |f(y)-f(x)|< e
成立。

2014-07-24 03:41:19 補充：
則很容易看出(或算出):
f(x)在(0，1)有界，但已知f(x)在(0，1)無界，
所以上面之假設(能找到d)是錯的，
即f(x)=1/x 在(0,1)不是均勻連續.

2014-07-24 03:43:03 補充：
上面之補充作廢，
f(x)=1/x 在(0,1)不是均勻連續的證明
寫在意見欄。

2014-07-24 03:49:06 補充：
則很容易看出(或算出):
f(x)在(0，1)有界:
此界為
f(x) <|f(1)|+e*(1/d)
或
f(x)<1+e/d 對於任意 x 在(0，1)中。

>這家不錯 lｖ3３3。ｃC買幾次啦真的一樣
仺元傳叨

>這家不錯 lｖ3３3。ｃC買幾次啦真的一樣
俐佢仴

樓上意思差不多, 不過描述則有點不精確.


f(x) = 1/x 在 (0,1) 是連續的, 因為在任何一個 x 點 (先固定), 給定任意容許
誤差界限 e > 0, 只要控制得當 ( |y-x| < 某個正數 d), 就能保證誤差
|f)y)-f(x)| < e.


而均勻連續要求的是: 在 (0,1) 之內, ,不先固定 x, 同樣給予任意一個容許
誤酋界限 e > 0, 都能控制到 |f(y)-f(x)| < e, 只要 |y-x| < 某個正數 d 且 y,x
都在 (0,1) 之內.

2014-07-23 12:05:39 補充：
固定 x 的話, 對每一個 e > 0, 確實可找到 d > 0, 使得當 |y-x| < d 時
必能保謐 |1/y - 1/x| < e. 因此, f(x) = 1/x 在 (0,1) 是處處連續的.

但給定 e > 0, 卻沒有單一的 d > 0, 使得當 |y-x| < d 時都能保證
|1/y - 1/x| < e.

2014-07-23 12:08:35 補充：
假設 e = 0.1, 假設任意一個值 d > 0, 例如 d = 0.001, 能保證
當 |y-x| < 0.001 時 \1/y - 1/x| < 0.1 嗎? 不, 例如 x = 0.07, y =0.0695,
則 1/y - 1/x = 0.10277 比 0.1 大, 雖然 |y-x| = 0.0005 < d.

2014-07-23 12:08:47 補充：
取更小的 d 可以嗎? 例如取 d = 0.00001, 能否保證只要 |y-x| < d
就有 |1/y -1/x| < 0.1? 不! 例如 x=0.007, y=0.0069995, 仍得
1/y - 1/x > 0.1, 雖然 |y-x| 小於 0.00001.

　　首先，敝人先對意見001做一點回覆：uniformly convergence的定義是，在兩個metric spaces，(M,d_M), (N,D_N)中，A是M的子集，令函數f_k: A→N滿足下列條件，對任意實數"epsilon > 0‵（也就是提問者的e）"，存在一個整數L使得若k>=L則d_N(f_k(x),f(x))

2014-07-22 23:04:52 補充：
　　敝人知道這串定義非常非常不好理解，而且再加上電腦打出來的關係，它很難看，所以換一個簡單的敘述：對兩個metric spaces（敝人真的不會翻譯一些單字，只知道意思，這點請見諒）M, N而言（當然，它們都有相應的metric），A是M的子集，令函數f_k:A→N滿足下列條件，對任意大於0的誤差值而言，能找到一個整數L使得若k大於等於L則函數f_k跟f以N的metric計算下小於誤差值，則f_k→f(uniformly on A)。

2014-07-22 23:12:41 補充：
　　因為誤差值e必須是任意大於0的實數，因此不可能存在誤差值為0的狀況。
　　好，敝人認為，這串定義打出來之後，提問者的問題也迎刃而解。首先，提問者的定義給錯了，那串是極限的定義而非uniformly convergence的定義。
　　再來，提問者認為對只要能夠找到一個變數值k讓f_k跟f在N的metric值下小於e就行了，但是請注意定義，這個值必須對任意e都有效，也就是說，不管你怎麼限制，都沒辦法滿足uniformly convergence的定義，而你認為可以的方法，其實只能讓f_k這個函數集合converge pointwise(arcwise) to f。

2014-07-22 23:14:46 補充：
　　分析學很重要的是理解定義描述的意思，也就是要理解它每個敘述的條件到底是對任意的，還是只要存在一個即可。敝人以為，這邊可以讓你重新認識一次這樣一個概念，還請笑納。

2014-07-22 23:48:06 補充：
　　敝人以為，你對那串文字的理解錯誤了，它的意思是對任何誤差值而言，存在一個變數值可以對應到任意誤差值，而不是你找到一個誤差值就去找一個對應的變數值，這兩點差很多的。
　　那串文字，就算改成: There exists an integer L, for every e>0 such that k>=L implies d_N( f_k(x) , f(x) ) < e意思也都一樣，它的內涵就是你必須讓一個變數值可以應對任何誤差值，他才能滿足條件。

2014-07-23 12:15:43 補充：
　　敝人的腦袋也昏了，一直將continuity看成convergence，不過何謂不精確？數學的語言有時候不是那麼容易讓人看懂，何不將他換成平常的語言去描述？
　　敝人的答案是一樣的，一樣就是誤差值跟變數差值的問題。
　　continuity的要求僅限於特定一點，但是加上uniform的意思就是說，這個函數必須要在給定的集合內中每一點都能以一定變數差值的容忍下連續。這就是敝人不太認同uniform翻成均勻的原因，也是中文不明確的地方。
　　

2014-07-23 12:52:07 補充：
　　提問者，敝人以為，你真的弄錯這道定義的意思了，敝人給你一個誤差值e，你給我一個變數差值d，說他可以在這個誤差值下適用，可是這個d並不能適用更小的誤差值啊！這道題目的證明，敝人假定你已經看過了，但是這道證明的目的在於「找一個反例使他不成立」，而不是照著定義下去跑，要他不成立。也就是說，任意變數的差小於任意變數差值時，存在一個誤差值讓函數值的差大於誤差值。敝人建議你可以試著把這道定義用否定改寫，再看看證明。
　　證明的工作不是我們該給的，就跟回答任何在這裡發問的題目一樣。

2014-07-23 13:01:28 補充：
　　說實話，敝人還是認為你可以親自寫一次，為什麼是這樣？為什麼不是那樣？只要能確保變數差值可以適用到任何的誤差值上，這個定義就滿足了。( 0, 1 )會讓1/x沒有上界，可是( 1, 2 )會讓1/x有上界，為什麼？自己試試看如何呢？

2014-07-24 02:00:42 補充：
　　如果要分析學有什麼實用性的話，敝人真的覺得你可以只了解古典分析，實複分析去學他們的應用就好，應該說，純數學在很多時候幾乎是沒什麼實用性的，頂多就是相互之間有可以使用的方式。
　　(1, 2)會讓1/x的上界不只趨近於real number，而是趨近於1，下界的部分則是1/2，所以一定可以抓到一個變數差值使得任何變數差在這個值之下時，讓函數值差小於任意誤差值。

2014-07-24 02:29:17 補充：
　　uniform continuity以及continuity是point-set topology的內容，只是跟分析會有不少關聯才被放在分析的書中。無論是geometry或topology都不太屬於敝人的範圍中，有興趣的話可以去找找相關書籍，不過建議想看geometry要先了解differential geometry的基本，topology則要熟悉point-set topology。
　　至於想找有什麼實用性，敝人只能說，除了數學家以外的學者，都不太理解這兩者的區別，如果不想走純數學，只要理解它們的區別就好了。

2014-07-24 02:35:55 補充：
　　Sam兄給的真的算是不錯的資料，但是敝人建議，如果不是想走數學這條路的話，甚至覺得不是想走分析或幾何這兩條路的話，可以不用去理解。有這樣的概念就好，等到你真的需要的時候，你會自然而然想起這樣得性質，然後去找他的，現在去理解應用，只會讓你更混亂，因為裡面會有更多東西會讓你想問有什麼實用性。

2014-07-24 02:45:31 補充：
　　拿個例子來講吧！敝人聽過一位組合學家的組合課，他在裡面用到級數跟積分的概念時，就曾經說過：為什麼符號可以交換？什麼時候他們不能交換？這種事情是分析學家要去理解的，其他人只要學怎麼用就好。
　　很多人都在數學上問過這樣的問題：這個理論有什麼實用性？敝人會說，無論任何學科，他們能讓一般人感到有實用性的，只是這個學科的表面，背後支持這些理論的，通常不是那麼實用。可是這些理論真的很漂亮，所以，如果你想理解這些理論的美，那就繼續鑽研；如果不想理解，只想拿來用，那就點到為止，因為很多理論，你不會抓到實用性的。

2014-07-24 08:30:56 補充：
　　Forier analysis的確在工程上的應用很廣，可是不會有多少超過數學範圍的學科會特別去理解它的理論部分，而也的確沒多少超過分析的領域會特別去理解關於這兩個符號交換正確性的問題。
　　應該說，在其他領域中，分析的確大量被運用，可是就像上面所說的，理論部分並不是太過被強調理解。
　　至於敝人認為uniform continuity是屬於topology，也許是敝人的認知錯誤，可是敝人依舊認為，continuity這種應該是幾何結構的問題，要丟在topology裡面，只是在分析中的應用太廣泛了。

雖然看不太懂
但總覺得e=0時,Uniform continuous就不可能達成了