微積分 凹性 反曲點

(a) 凹性這塊 老師講的跟課本講的對我來說不一樣 鎖已不知到底要用哪個
老師:看微分後的導數,去代入還沒微分的式子來判斷 課本:f''(X)>0 則f(X)為上凹 f''(X)<0, 則f(X)為下凹Ans:y'(x)=0 求取極點(Extreme).反曲點(Inflection) or 駐點(Staionary)y"(x)>0 有極小值.上凹曲線y"(x)<0 有極大值.下凹曲線y"(x)=0 駐點(Staionary)
(b) 不懂的是為何一個要帶數字算一個不用??Ans: 數字代入才能判斷正負值或0
(c) 求凹性.反曲點.極值1.y(x)=x^3(x-2)=x^4-2x^3y'(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)=0 => x=0, 3/2y"(x)=12x^2-12x=12x(x-1)y"(0)=0 => 駐點y"(3/2)=9>0 => min.上凹曲線min=y(3/2)=-27/16駐點=(0,0)
2.y(x)=x^4-4x^3+10y'(x)=4x^3-12x^2=4x^2*(x-3)=0 => x=0, 3y"(x)=12x^2-24x=12x(x-2)y"(0)=0 => 駐點y"(3)=36>0 => min.上凹曲線min=y(3)=81-4*27+10=-17駐點=(0,10)
3.y(x)=e^[-(x^2+6x)/2]=e^u(x)u(x)=(-x^2-6x)/2 => u'(x)=-(x+3)y'(x)=-(x+3)e^u(x)=0 => x=-3y"(x)=-e^u(x)+(x+3)^2*e^u(x)=e^u(x)*(x^2+6x+8)y"(-3)=(9-18+8)e^[-(9-18)/2]=-e^4.5<0 => max.下凹曲線max=y(-3)=e^[-(9-18)/2]=e^4.5

4.y(x)=e^(-x^2/2)u=-x^2/2 => u'=-xy'(x)=-x*e^u=0 => x=0y"(x)=-e^u+x^2*e^u =(x^2-1)e^uy(0)=-e^u<0 => max.下凹曲線max=y(0)=e^0=1


2014-07-21 13:35:09 補充：
5.那請問帶數字時 是要帶入原本的式子還是二階微分過後的?

Ans: 代入y"(x)


6.另外 判斷遞增遞減時 是要帶入原式還是一階微分後的呢?

Ans:

y'(x)>0遞增

y'(x)<0遞減

y'(x)=0求反曲點.極值點

2014-07-21 13:37:58 補充：
5.那請問帶數字時 是要帶入原本的式子還是二階微分過後的?

Ans: 代入y"(x)


6.另外 判斷遞增遞減時 是要帶入原式還是一階微分後的呢?

Ans:

y'(x)>0遞增

y'(x)<0遞減

其實是要代入數字的，但如果代什麼也一樣結果，則不必代也可以判斷。

例如 f(x) = x² ⇒ f''(x) = 2
那你代什麼進 f''(x) 也是 > 0，所以 f(x) = x² 為上凹 (concave upwards, or convex)
又例如 g(x) = e^x ⇒ g''(x) = e^x
那你代什麼進 g''(x) 也是 > 0，所以 g(x) = e^x 為上凹

有些函數會於不同區域有不同性質，有部分是上凹、有部分是下凹。
所以有時則需要代入數字考慮。

2014-07-20 17:27:26 補充：
例如 h(x) = x³ ⇒ h''(x) = 6x

可見 x > 0 會使 h''(x) > 0，因此 h(x) = x³ 於 x > 0 時是上凹；
留意 x < 0 會使 h''(x) < 0，因此 h(x) = x³ 於 x < 0 時是下凹；

若問 y = x³ 於 x = -5 時的情況，你可以考慮 h''(-5) = -30 < 0，因此是下凹。

2014-07-20 17:31:34 補充：
我暫做一題，且看你是否明白

令 f(x) = x³(x - 2) = x⁴ - 2x³
f'(x) = 4x³ - 6x² = 2x²(2x - 3)
f''(x) = 12x² - 12x = 12x(x - 1)

f'(x) = 0 ⇔ x = 0 或 x = 3/2
因此 (0, 0) 和 (3/2, -27/16) 是駐點

f''(0) = 0
f''(3/2) > 0 可知 (3/2, -27/16) 是極小點

f''(x) 在 x = 0 和 x = 1 期間會轉號
(0, 0) 和 (1, -1) 是反曲點。

2014-07-20 17:33:44 補充：
在 x < 0 時， f''(x) > 0；
在 0 < x < 1 時，f''(x) < 0；
在 x > 1 時， f''(x) > 0。

因此，f(x) 在 x < 0 和 x > 1 時是上凹，於 0 < x < 1 時是下凹。

反曲點是 (0, 0) 和 (1, -1)

極(小)值是 -27/16

2014-07-20 17:33:58 補充：
看圖：
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B3(x%20-%202)&t=crmtb01