餘式定律與根的問題

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問題
設 f(x) = x³ + (k - 2)x² - 3x + 1，其中 k 為一正常數。f(x) 分別除以 x - 1 及 x + k 時，餘數均相同。
(a) 求 k 的值。
(b) 方程 f(x) = (x - 1)(2x - 5) - 1 有多少個實根？試解釋你的答案。

解答
(a)
根據餘式定理，當 f(x) 除以 x - 1 時，餘數是 f(1)；
當 f(x) 除以 x + k 時，餘數是 f(-k)。
因此，f(-k) = f(1)
(-k)³ + (k - 2)(-k)² - 3(-k) + 1 = (1)³ + (k - 2)(1)² - 3(1) + 1
-k³ + (k - 2)(k²) + 3k + 1 = 1 + (k - 2) - 3 + 1
-k³ + k³ - 2k² + 3k + 1 = 1 + k - 2 - 3 + 1
-2k² + 3k + 1 = k - 3
-2k² + 2k + 4 = 0
2k² - 2k - 4 = 0
k² - k - 2 = 0
(k - 2)(k + 1) = 0
k = 2 或 k = -1 （捨去，因為 k 是正常數）
k = 2

(b)
從 (a)，f(x) = x³ + (k - 2)x² - 3x + 1 = x³ - 3x + 1

方程 f(x) = (x - 1)(2x - 5) - 1 可寫成
x³ - 3x + 1 = (x - 1)(2x - 5) - 1
x³ - 3x + 1 = (2x² - 2x - 5x + 5) - 1
x³ - 3x + 1 = 2x² - 7x + 4
x³ - 2x² + 4x - 3 = 0

令 g(x) = x³ - 2x² + 4x - 3，
測試得知 g(1) = 1 - 2 + 4 - 3 = 0，即 x - 1 是 g(x) 的因式。

用長除法或因式分解得知
g(x) = x³ - 2x² + 4x - 3
　　= x³ - x² - x² + x + 3x - 3
　　= x²(x - 1) - x(x - 1) + 3(x - 1)
　　= (x - 1)(x² - x + 3)

因此，x³ - 2x² + 4x - 3 = 0 可寫成
(x - 1)(x² - x + 3) = 0
x = 1 或 x² - x + 3 = 0
考慮 Δ = (-1)² - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11 < 0
可知 x² - x + 3 = 0 沒有實根。
所以，方程 f(x) = (x - 1)(2x - 5) - 1 只有 x = 1 一個實根。


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2014-07-20 15:28:37 補充：
謝謝 少年時 老師的意見，很有參考價值！

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方程 f(x) = (x - 1)(2x - 5) - 1 可寫成
x³ - 3x + 1 = (x - 1)(2x - 5) - 1
==> x³ - 1 - 3x + 3 = (x - 1)(2x - 5)
==> (x - 1)(x² + x + 1) - 3(x - 1) - (x - 1)(2x - 5) = 0
==> (x - 1)(x² + x + 1 - 3 - 2x + 5) = 0
==> x - 1 = 0 或 x² - x + 3 = 0
前者有一實根，後者無實根。