中學數學問題 第8,9,10題 求解

(8) x, y are integers and, 0＜x, y＜10, so
xy＋yx
＝10x＋y＋10y＋x
＝11(x＋y)
which is a square number, so x＋y＝11, that is,
(x, y)＝(2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2)
Ans：there are 8 numbers exist -- 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

(9) 4x2 + 2xy + y^2 + 6z
＝(2x – y)^2 + 6xy + 6z
＝(2x – y)^2 + 6(64/z) + 6z ⋯⋯ (xyz＝64)
＝(2x – y)^2 + 6(64/z + z)
>= 12√[(64/z)(z)] ⋯⋯ (a＋b >= 2√(ab) and a^2 >= 0)
= 96
Equal sign occurs when 64/z = z and 2x = y. ie. z = 8 or -8,
Case z＝8：xy＝8 ==> (x, y)＝(2, 4) or (-2, -4)
Case z＝-8：no such real numbers for x, y
Therefore, S＝x＋y＋z is minimum when (x, y, z)＝(-2, -4, 8)
ie. S = (-2)＋(-4)＋8＝2

(10) Given ∠A＋∠B＋∠C＝180° and 90°＞∠A＞∠B＞∠C＞0°
min(∠A－∠B, ∠B－∠C, 90°－∠A)＝x°
maximum value of x occurs when ∠A－∠B＝∠B－∠C＝90°－∠A＝x°
ie, ∠A＝90°－x°, ∠B＝90°－2x°, ∠C＝90°－3x°
∠A＋∠B＋∠C＝180°
==> 90°－x°＋90°－2x°＋90°－3x°＝180°
==> 6x＝90
==> x＝15

2014-07-11 17:33:41 補充：
知識長說得對，你能力很高，只是信心不足。
'學問' 要學 '三錯'：認錯、知錯、改錯。
認錯⋯⋯要辨認那些是錯
知錯⋯⋯要知道錯在那裡
改錯⋯⋯改掉上述的錯 (若有的話)
不做不錯，無錯可改，等於無學問。所以越錯得多，學問越多 (當然要懂改錯)。
記住：不要怕錯，錯是學習的過程。

(有點說教，到此為止)

90°＞∠A＞∠B＞∠C＞0°有甚麼用
這是資料，有用就用，無用可作參考。
這些資料令我們知道 90°＞∠A＞60°

過橋抽板的正是這種沒有膽子的匿名人。

第十題另解
設90-A=r⇒A=90-r
設A-B=p⇒B=A-p=90-r-p
設B-C=q⇒C=B-q=90-r-p-q
A+B+C=180
(90-r)+(90-r-p)+(90-r-p-q)=180
90=3r+2p+q
由於 p,q,r的最小值為x,p≥x;q≥x;r≥x
於是 90≥3x+2x+x等號只在p=q=r=x時才成立
90≥6x
15≥x
x最大值＝15其時p=q=r=15

http://imsp206.netvigator.com/~norme/Main/Maths/HKMO/HKMO2014.pdf

2014-07-11 00:39:23 補充：
https://s.yimg.com/rk/HA00430218/o/2088698004.png

2014-07-11 00:39:31 補充：
其實只用 A ≥ 45 + 2x 也足夠。

配合 90 - A ≥ x，也可知

90 - x ≥ A ≥ 45 + 2x

90 - x ≥ 45 + 2x

3x ≤ 45

x ≤ 15

2014-07-11 00:39:53 補充：
不必理會 C 是否 ≥ 45°

2014-07-11 15:20:06 補充：
第9題x,y不是正數嗎?
是正數，那你就可以有信心地知道 2 + 4 + 8 = 14 就是答案。
發問者你可以靈活一點思想，做數學正正希望訓練這一點。
你要對自己有信心。
各位網友如果指出了一個大綱令發問者知道什麼事，那理論上已經解決了問題。
當然，我絕對同意表達清楚準確無誤都很重要，不至於產生誤會，例如昨晚的 clockwise 和 anti-clockwise，你一看就明，我不是一看就明。
但請明白更重要的是你是否理解所提供的答案的意思。
因為你是有能力明白發生什麼事的。
你信心的不足會令人感到你地需要別人全程把你帶到終點。

2014-07-11 15:26:30 補充：
第10題不明白．．．問題說90°＞∠A＞∠B＞∠C＞0°有甚麼用?

你這兩個問題可以一併回答。
正正是要求了由大至小的順序： 90, A, B, C
才可以定義 x 為 四數之中，各連續兩數的最大 gap 位，亦保持了 x 是正數。
90－A, A－B, B－C 正是三個 gap 位。

min(90－A,A－B,B－C)＝x
這個 minimum 的最大可能性是三個 gap 位相同的時候，否則有大有小的話，最小的就不及三等分那麼大，因此，(90－C) ÷ 3 = x

maximum value of x occurs when A－B＝B－C＝90－A＝x

2014-07-11 15:27:52 補充：
如果語氣有什麼不好請見諒～

我覺得最重要是對事不要對人～

大家也要努力～

2014-07-11 17:37:58 補充：
如果不提「90°＞∠A＞∠B＞∠C＞0°」，那麼 x 定義為 min(90－A,A－B,B－C) 其實可以是負數的，所以是有必要的。

2014-07-11 17:38:50 補充：
唉。。。。！！！

近日好黑仔呀！！！

諸事不利～

要繼續努力先可以改運！

2014-07-11 20:04:42 補充：
哦～

這樣解也滿不錯的啊～

(◡‿◡✿)

2014-07-14 22:22:24 補充：
少年時 老師 認真作答，心思縝密，這樣換來一句 not good 我真是覺得很無禮貌。

人家是花時間教導你向你慢慢解釋，是義務付出，你有權不滿解答，但態度也應該好一點。你要明白自己不是一個顧客的身份。

我們不是為點數而作答的奴隷，大家都是對數學有興趣的人，希望參與一下表達意見。

最重要是大家互相尊重。

你的表達像什麼？

在於我們的立場，是否不答更好？　不用受氣。

一個有品德的人比一個有高超技術的人更有用，因為世界不是只求進步的鬥獸場，人活著是要生活的！