已知方程有,實根證明:

a³x⁴ + 2a²bx³ + (ab² + 2a²c + ab)x² + (2abc + b²)x + ac² + bc + c = 0
a(ax² + bx + c)² + b(ax² + bx + c) + c = 0
∴
ax² + bx + c = [- b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
ax² + bx + c - [- b ± √(b² - 4ac)] / (2a) = 0△ = b² - 4a { c - [- b ± √(b² - 4ac)] / (2a) } ≥ 0
⇒
b² - 4ac + 2[- b ± √(b² - 4ac)] ≥ 0
b² - 4ac ± 2√(b² - 4ac) ≥ 2b
b² - 4ac ± 2√(b² - 4ac) + 1 ≥ 2b + 1
(√(b² - 4ac) ± 1)² ≥ 2b + 1
∴
(√(b² - 4ac) + 1)² ≥ 2b + 1

2014-07-05 01:07:27 補充：
如果是2個實根,2個虛根,則不能有 (√(b² - 4ac) - 1)² ≥ 2b + 1。
此時△= b² - 4ac + 2[- b + √(b² - 4ac)] ≥ 0 > b² - 4ac + 2[- b - √(b² - 4ac)]。

2014-07-05 01:08:16 補充：
如果是2個實根,2個虛根,則不能有 (√(b² - 4ac) - 1)² ≥ 2b + 1。
此時△= b² - 4ac + 2[- b + √(b² - 4ac)] ≥ 0 > b² - 4ac + 2[- b - √(b² - 4ac)]。

2014-07-05 01:08:37 補充：
如果是2個實根,2個虛根,則不能有 (√(b² - 4ac) - 1)² ≥ 2b + 1。
此時△= b² - 4ac + 2[- b + √(b² - 4ac)] ≥ 0 > b² - 4ac + 2[- b - √(b² - 4ac)]。

這個是你的原題還是你自己推導出來的部份？

2014-07-05 05:14:43 補充：
無錯，補充回答的機制有少許問題。
有時候明明發表了，但系統顯示錯誤。
但原來是沒有問題的。

很奇怪為何雅虎那麼大型的機構，弄一個論壇都搞到不穩定。

BTW，本題似乎最難是在於看得出題目是 f( f(x) ) = 0 其中 f(x) = ax² + bx + c，故此我才一問 Dan 那個四次多項式是否原題的樣式。