~ 條件不等式一題 ~

由算幾不等式，有:
x³ + y³ + z³ >= 3xyz ...(1)
由廣義柯西不等式，有:
(x³ + y³ + z³)(1 + 1 + 1)(1 + 1 + 1) >= (x + y + z)³ ...(2)
為了用上題目的條件，所以把 (1)式 3 次方，成為:
(x³ + y³ + z³)³ >= (3xyz)³ ...(3)
(2)式*(3)式，得:
9*(x³ + y³ + z³)⁴ >= 27
(x³ + y³ + z³)⁴ >= 3
(x³ + y³ + z³) >= ∜3
"=" 成立的條件: x = y = z = ∜(1/3) (合題意)
故答案為: ∜3

2014-07-05 10:58:30 補充：
001 知足常樂 知識長 客氣了。您的回答內容精妙，字詞優雅，排版美觀，總是令人獲益良多。

002 仙仙 大 承蒙指教。我的頭腦其實非常遲鈍，每一題都想很久，也不一定能解出。

2014-07-14 16:09:03 補充：
由於算幾與柯西可互相推導(等價關係)；因此，可用其一證出之命題，能用另一證得，合情合理。

給一算幾解法作參考 :
(x + y + z)³ / (x³ + y³ + z³)
= ( x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3x²z + 3y²x + 3y²z + 3z²y + 3z²x + 6xyz ) / (x³ + y³ + z³)
≤ ( x³+y³+z³ + 2x³+y³ + 2x³+z³ + 2y³+x³ + 2y³+z³ + 2z³+y³ + 2z³+x³ + 2(x³+y³+z³ ) / (x³+y³+z³)
= 9 ... ①

(3xyz)³ ≤ (x³ + y³ + z³)³ ... ②

2014-07-14 03:45:39 補充：
① × ② :

27 / (x³ + y³ + z³) ≤ 9(x³ + y³ + z³)³
∜3 ≤ x³ + y³ + z³

cefpirome 大大很厲害
我的頭腦有點遲鈍
請多多指教

cefpirome 精彩！
深表欣賞～
多多指教～
互相交流～

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