等差數列的應用

這條題目是很常見的，你一搜尋就有很多答案。

我再解答一次吧。

四邊形的四個角成差數列，令四角為 a°, a° + d°, a° + 2d°, a° + 3d°，其中 a > 0 且可使 d ≥ 0。

幾何上唯一的條件是四角相加是 360°，
a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 360
4a + 6d = 360
2a + 3d = 180

角度被要求是正整數的度數，故問題變成有多少個 a 和 d 的正整數解符合：2a + 3d = 180

先看看正負範圍：
a = (180 - 3d)/2 > 0 ⇒ 180 - 3d > 0 ⇒ d < 60
d = (180 - 2a)/3 ≥ 0 ⇒ 180 - 2a ≥ 0 ⇒ a ≤ 90

{ 0 ≤ d < 60
{ 0 < a ≤ 90

由 a = (180 - 3d)/2 可知 d 必為偶數，因為 a 要是整數。
由 d = (180 - 2a)/3 可知 a 必為3的倍數，因為 d 要是整數。

因此，d 只能是 0, 2, 4, 6, ..., 58，共有三十個情況。
因此，a 只能是 3, 6, 9, 12, ..., 90，共有三十個情況。

所以，符合條件的四邊形有三十種。

也請看意見欄之連結。


2014-07-01 20:06:47 補充：
請看以下的連結，先刪掉空白格：

https://tw.knowledge.　yahoo.com/question/question?qid=1610100606278

https://tw.knowledge.　yahoo.com/question/question?qid=1510121806424

2014-07-01 20:42:03 補充：
我在意見欄提供的連結正正是介紹你再看看各個不同的做法。

2014-07-01 20:43:13 補充：
(◕‿◕✿)

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友偛

四個角成等差數列，且度數為正整數的四邊形有多少種?
(只討論角度所以正方形和長方形邊長雖然不同，但因四角都90度所以視為同一種)
Sol
a，a+d，a+2d，a+3d，a>0，d>=0
a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)=360
4a+6d=360
2a+3d=180
2a=180－3d
a=(180－3d)/2=90－d－(d/2)
存在b為正整數或0使得b=d/2
a=90－2b－b=90－3b
0<=90
0<90－3b<=90
－90<=3b－90<0
0<=3b<90
0<=b<30
0<=b<=29
29－0+1=30
有30種

設四個角分別為( a-d , a , a+d , a+2d )
可以知道 : 第一、 a-d>0 所以 a>d
第二、 四邊形四角總和360度，所以 (a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=4a+2d=360

4a+2d=360 所以 2a+d=180
已知 若a不等於0(角度不能為0)，2a+d=180 有90個解(因為a可以=1,2,3,...,90)
but, a>d , 當a=60,d=60 ,故a從61~90 , a皆>0 , 因此(a,d)有30個解

希望你能了解~