根與係數關係

設a，b，c，d為x^4+x+1=0之四根，求(2a^2+a+1)(2b^2+b+1)(2c^2+c+1)
(2d^2+d+1)=?
Sol
abcd=1
x^4+x+1=0
x^4+2x^2+x+1=2x^2
2x^2+x+1=2x^2－x^4
(2a^2+a+1)(2b^2+b+1)(2c^2+c+1)(2d^2+d+1)
=(2a^2－a^4)(2b^2－b^4)(2c^2－c^4)(2d^2－d^4)
=(abcd)^2(2－a^2)(2－b^2)(2－c^2)(2－d^2)
=(2－a^2)(2－b^2)(2－c^2)(2－d^2)
x^4+x+1=(x－a)(x－b)(x－c)(x－d)
4+√2+1=(√2－a)(√2－b)(√2－c)(√2－d)=5+√2
4－√2+1=(－√2－a)(－√2－b)(－√2－c)(－√2－d)=5－√2
25－4=(a^2－2)(b^2－2)(c^2－2)(d^2－2)
(2a^2+a+1)(2b^2+b+1)(2c^2+c+1)(2d^2+d+1)=21




2014-07-02 12:54:22 補充：
修改為
25－2=(a^2－2)(b^2－2)(c^2－2)(d^2－2)
(2a^2+a+1)(2b^2+b+1)(2c^2+c+1)(2d^2+d+1)=23

螞蟻大：
(5+√2)(5-√2)=25-2=23

好像這樣，
對嗎？