高一數學 數與式 將分數換作為小數

前言:

唉....這種題目真的很無聊，如果你將來要讀數學系才會再遇到吧，分數轉換小數的題目學測指考近幾年也很少考，小數轉換分數還可能會考吧。



好喔你知道了7/33，表示你懂21/99，也表示你知道0.21_21循環等於21/99，
那就可知你知道0.ab_ab循環等於ab/99了吧。
進一步到三位數，也可知0.abc_abc循環等於abc/999。
那接下來的一切都不難囉~
你問的問題是當有小數點後n位時，只有n-1位循環，或n-2位循環。


規則其一: 0.ab_b循環，等於ab-a/90

先從37/45來回答你，
第一、化作74/90，試想ab-a=74 ，可推知a為8，那ab=82，答案為0.82_2循環



規則其一: 0.abc_bc循環，等於abc-a/990，例:0.123_23循環，等於123-1/990

第二問:43/110=387/990
試想abc-c=387，c=3，abc=390，答案為0.390_90循環


Q2第一題可能有點難度，但慢慢想不難啦
0.abc_c循環，等於0.abc-ab/900
43/150=258/900
這邊要你試想ab，但二位數以上通常不太好推，我個人的做法是:
先將258+25(前兩個數，不管第三位是多少)，等於283，後來發現原來是28開頭，但我"先前只有+25"，所以"再加3"
結果應該化做286-28/990，答案為0.286_6循環。

7/330=21/990，等於0.021_21循環，這邊可能要注意分母990是三位數，分子也寫成三位數可能會比較瞭解，寫成021，並從分母990可知末兩數循環，所以答案為0.021_21循環囉。




其他建議:
以上是如果你真的很好奇這個規則打給你的，實際上直接用除的可能比較快，見仁見智。還有如我前言說的，高一數與式這個章節的這個部分是考比較少的(大考)，而且也不那麼重要，這章主要是介紹有理數和無理數吧，對於計算能力來講沒有太大的要求，但概念非常重要，建議朝那邊著手。
還有關於這個規則是哪裡來的......我只知道是數學家研究來的吧，"數"就是存在著這種規律，然後有人要考你.....




最後補充:
如果你要問我說82是從哪找來的，我會回答74+8來的，你也可以假設74+7=81，但你發現不對，第一位是8，所以少加1，最後還是加8喔~
(再次:ab_b循環=ab-a/90，37/45=74/90)，74+8=82
所以82-8/90=0.82_2循環

390的也再附註，43/110=387/990
(abc-a/990=0.abc_bc循環)
387+3=390，最後寫成390-3/990=0.390_90循環

試將7/33，37/45，43/110化成小數
Sol
(1)
7/33
=21/99
=0.(21循環)

(2)
37/45
=37/(3^2*5)
=37*11*2/(3^2*5*11*2)
=814/990
814/99
=8+22/99
=8+2/9
=8+0.(2循環)
814/990
=0.8+0.0(2循環)

(3)
37/45=0.8+0.0(2循環)43/110
=43*9/990
=387/990
387/99
=3+90/99
=3+0.(90循環)
43/110=0.3+0.0(90循環)

0.212121...＝21/99
0.822222...＝(82-8)/90
0.3909090... = (390-3)/990

所以，
43/150＝258/900＝(9a+b)/900
因為 9a+b＝258，所以 b＝6, a＝28，
(9a+b)/900＝(286-28)/900＝0.286666...

7/330＝21/990＝(99a+b)/990
因為 99a+b＝21，所以 b＝21, a＝0，
99a+b)/990＝(021-0)/990＝0.0212121...

2014-06-30 10:04:15 補充：
如Q1的 82 哪找來? 390等?

先將分母改成 99...900...0，幾多個 9 表示幾多個循環數位，幾多個 0 表示幾多個沒有循環數位，
分子是 99...9a＋b，a 及 b 都是非負整數，b的數位等於循環數位。
例如 37/45＝74/90
所以 9a＋b＝74 ⋯⋯ (b 是一位數)
a＝(74－b)/9，所以 b＝2，a＝8，所以是 0.82222...
又例如 43/110＝387/990
所以 99a＋b＝387 ⋯⋯ (b 是兩位數)
a＝(387－b)/99，所以 b＝90，a＝3，所以是 0.3909090...

看不出來要怎麼轉換就直接除就好了.