m＋n 是多少？

你寫的問題，話難又不怎樣難，但話容易又不是。！！？

2014-06-26 19:21:14 補充：
我諗通了，知足常樂 大師，有何進展否。
此題搞了一個人牆，一定要先穿過這人牆。

2014-06-26 21:35:50 補充：
人牆歪咗，改為 4^2014 = 2^4028 = a1*10^(m-1) ⋯⋯ 因有m個位數，
5^4028 = a2*10^(n-1) ⋯⋯ 因有n個位數，
但 a1*10^(m-1) * a2*10^(n-1) = a1*a2*10^(m+n-2)
且 4^2014 * 5^4028 = 10^4028
因 a1 不可能是 1，a2 也不會是 1，所以 a1*a2 = 10，即
10*10^(m+n-2) ＝10^4028
1＋m＋n－2＝4028
==> m＋n＝4029

2014-06-26 21:45:29 補充：
我說的人牆是題目特登將2改成4，使攻方以為人牆很長，但穿崩。
當然用4x25也可以，明顯地不是我們看慣的 a*10^n。

2014-06-27 14:30:52 補充：
4^2014 = 2^4028 = a1*10^(m-1) ⋯⋯ 因有m個位數，
5^4028 = a2*10^(n-1) ⋯⋯ 因有n個位數，
但 a1*10^(m-1) * a2*10^(n-1) = a1*a2*10^(m+n-2)
且 4^2014 * 5^4028 = 10^4028
因 a1 不可能是 1，a2 也不會是 1，所以 a1*a2 = 10，即
10*10^(m+n-2) ＝10^4028
1＋m＋n－2＝4028
==> m＋n＝4029

若問 4^1000 是p位數，4^1014 是q位數，5^2000 是s位數，5^2028 是t位數，
p＋q＋s＋t＝？
4^1000 = 2^2000 = a1*10^(p-1) ⋯⋯ 因有p個位數，
4^1014 = 2^2028 = a2*10^(q-1) ⋯⋯ 因有q個位數，
5^2000 = a3*10^(s-1) ⋯⋯ 因有s個位數，
5^2028 = a4*10^(t-1) ⋯⋯ 因有t個位數，
但 a1*10^(p-1) * a3*10^(s-1) = a1*a3*10^(p+s-2)
a2*10^(q-1) * a4*10^(t-1) = a2*a4*10^(q+t-2)
明顯地 a1*a3, a2*a4 的值不是1, 就是10. 但 a1, a2, a3, a4 全不可能是1, 所以是10. 即
a1*a3*10^(p+s-2) * a2*a4*10^(q+t-2)＝10^4028
==> 10*10^(p+s-2) * 10*10^(q+t-2)＝10^4028
==> 1＋p＋s－2＋1＋q＋t－2＝4028
==> p＋q＋s＋t＝4030

再怪些，若問 4^600 是u位數，4^1414 是v位數，5^700 是x位數，5^3328 是y位數，
u＋v＋x＋y＝？
這次，a1*a2*a3*a4*10^(u＋v＋x＋y－4)＝10^4028
利用002的方法，可知 a1 約是 1.7, a2 約是 2.1, a3 約是 1.9, a4 約是 1.5
所以 a1*a2*a3*a4 约等於 10.17 (明顯地應該是10)，即
1＋u＋v＋x＋y－4＝4028
u＋v＋x＋y＝4031

知足常樂 大師，你的計算方法是對的，這裡也沒有人懷疑過，只是不完美吧了。
001的都沒有過程，所以無法討論。(最後他的link也是用了002的方法)

(題目的重點是希望做到 a1*a2，不是 a1*a2*a3，
因為後者只能用002的方法，因無法確定積是10或100)

這題目確實在不用計算機下可以確認是m+n=4029
5^4028 = x * 10^(n-1) ; 1<10
4^2014 = y * 10^(m-1) ; 1<10
5^4028 * 4^2014 = 10^4028
= xy * 10^(m+n-2)
由於1 < xy < 100 => xy =10
故5^4028 * 4^2014 = 10^(m+n-1)
m+n = 4029

2014-06-29 22:38:04 補充：
1 < x < 10
1 < y < 10

如果你有恆心就用計算機慢慢按吧

總覺得 貓sir 你已經攻到龍門口了，欠大腳一射。

2014-06-26 13:57:36 補充：
從左邊進攻會跌落越位。
想想一個10位數去乘一個20位數，答案最多幾個位，最小幾個，幾時出現？

2014-06-26 15:47:46 補充：
所以若兩個數字都改為 a1*10^b1, a2*10^b2,
則 a1*a2 >= 10，就是多位的，即 (b1＋b2)，
＜10就是小位的，即 (b1＋b2－1)。

(你看懂嗎？
例如12345*6789，因為1.2*6.7 < 10, 所以答案是8個位，不是9個位。)

2014-06-26 15:55:30 補充：
Sorry, 寫錯.
1 <= a1, a2 ＜10
a1*a2 >= 10, 位數是 (b1＋b2＋2)；
a1*a2 ＜ 10, 位數是 (b1＋b2＋1)；

2014-06-26 22:35:29 補充：
多謝兩位老師！
估不到兩位老師左腳交右腳，互相短傳沁入，起腳射門，竟然射入。
那麼快被人射穿人牆，anyway，高手雲集，值得高興的。
邊位都好，作答吧！

2014-06-26 23:46:59 補充：
2：1個位
34：2個位
2x34：(1＋2)個位
真的是這樣嗎！？！
貓Sir，你不是也確定不了是2個或是3個嗎？

2014-06-27 07:43:35 補充：
說白一點，001的是靠估，好彩是對的，不值得討論。
例如：2^10：4位數 ⋯⋯＝1024
5^5；4位數 ⋯⋯＝3125
2^10 * 5^5：(4＋4)位數 ⋯⋯ 明顯是錯的，因為正確的是7位數

002是用log, 當然是正確的, 但不是正解。

我當然知道 '答案' 是 4029, 但我要的是 '解',

若問 4^1000 是p位數，4^1014 是q位數，5^2000 是s位數，5^2028 是t位數，
p＋q＋s＋t＝？
(答案明顯地不是4029了，但002會是對的)

以下 log 指 common log (base 10)。

　　k - 1 ≤ log(k 位數) < k

{ m - 1 ≤ log(4²⁰¹⁴) < m
{ n - 1 ≤ log(5⁴⁰²⁸) < n

{ m - 1 ≤ 2014 × log(4) < m
{ n - 1 ≤ 4028 × log(5) < n

m = ceiling[2014 × log(4)] = 1213
n = ceiling[4028 × log(5)] = 2816

m + n = 4029

2014-06-26 13:47:28 補充：
什麼？
你想我從以下的方向進攻？

即不用計算機計 log，要計：

{ m - 1 ≤ 2014 × log(4) < m
{ n - 1 ≤ 4028 × log(5) < n

相加得 m + n - 2 ≤ 4028 < m + n
即 4028 < m + n ≤ 4030

問題在於如何判斷是 4029 或 4030。

2014-06-26 14:16:17 補充：
10⁹ ≤ 10位數 < 10¹⁰
10¹⁹ ≤ 20位數 < 10²⁰

10⁹ × 10¹⁹ ≤ (10位數 × 20位數) < 10¹⁰ × 10²⁰
10²⁸ ≤ (10位數 × 20位數) < 10³⁰

最多30位，最少29位。

★☆★☆★☆★☆★☆★☆

這樣分析吧：
10 ≤ 2位數 ≤ 99
10000 ≤ 5位數 ≤ 99999
100000 ≤ (2位數 × 5位數) ≤ 9899901

可以是 6位數 或 7位數。
分界位在於 999999 與 1000000 之間。

2014-06-26 20:20:10 補充：
回應幾點：

（１）
首先，題目問 m + n 是多少，不是問 4²⁰¹⁴ × 5⁴⁰²⁸ 有多少個位，所以答案應該意見 001 和 002 出現的 4029。我不是太明白為何欠了「埋門一腳」，除非題目指出不能用計算機。

〔２〕
我明白意見 007 和 008，正如題目的情況是 4 × 5² = 4 × 25 = 100 進了位成了三位數〔因此不是一位數乘二位數仍得二位數的情況〕。那只是分析了我於意見 004 的最後一句。

〔３〕
回意見 008，人牆不是問題，最重要是大家所指的龍門是否同一個。

2014-06-26 20:28:30 補充：
上邊〔３〕的 008 我指 010。

✿ ( ◕‿◕ ♫╭✰) ✿ ( ◕‿◕ ♫╭✰) ✿ ( ◕‿◕ ♫╭✰) ✿

其實由於有進位，所以
　m + n 亦等於 4²⁰¹⁴ × 5⁴⁰²⁸ 的位數

大家有否想過，如果題目當真只想問 4²⁰¹⁴ × 5⁴⁰²⁸ 的位數，那大可以考慮
4²⁰¹⁴ × 5⁴⁰²⁸ = 4²⁰¹⁴ × (5²)²⁰¹⁴ = 4²⁰¹⁴ × 25²⁰¹⁴ = (4×25)²⁰¹⁴ = 100²⁰¹⁴ = (10²)²⁰¹⁴ = 10⁴⁰²⁸

那就知道有 4029 個位。

但問題不是問這個？

2014-06-26 21:44:59 補充：
邊位都好 老師：

你的表達較清晰，等待 想當年 老師 核實後請作答～

這題不錯～
謝謝各位的指導。

╭∧---∧╮
│ .✪‿✪ │
╰/) ⋈ (\╯

2014-06-26 23:32:51 補充：
其實我也不明白，我覺得意見 001 和 002 已經解答了～

2014-06-27 03:12:03 補充：
回 019 想當年 老師：其實對於以上的所有意見內容，你有否誤會我的意思？

同時，我是否有表達不清的地方？

請指出讓我澄清或改正。

☆ヾ(◕‿◕)ノ

2014-06-27 03:17:59 補充：
因為到此為止，沒人指出 002 不妥之處。

我唯一估計的「不妥」之處是要計算 log 數，但至今只有我一人懷疑，沒人證實。

因此根據我的「懷疑」，我再作出 004 及之後的討論，而大家也提出了 首數 相乘會否 進位 是重點，那大家也已經明白了。

所以是否版大應該提出一下大家是否有誤會的地方？

我的意思是，似乎計算上的問題，這裏四個人都明白了。

大家不明白的是，其實以上的所有討論之中，是哪個部份可以回答題目本身呢？

2014-06-27 20:06:42 補充：
先感謝各位的指教。

但我想解釋一點（不是辯駁）。

其實題目的問法不會引導答題者把兩數相乘的。

例如：
a 是 2x - 7 = 1 的解，b 是 3x - 7 =2 的解。
求 a + b 。

我覺得從解決問題的角度上看，由於 a 和 b 是沒有關係的，
所以分開計算可以完全避免那個進位問題，是可以避免想錯。

如果題目是有心詢問那個進位問題，我覺得理應改變問法。
例如說明不能計算 log，或者要求從兩數相乘著手。

2014-06-27 20:10:35 補充：
其實三位又知否我不斷作出回應的原因？
因為我想不通大家的回應。

我看來大家不斷的起步點都是想從兩數相乘著手，而這個方向是我一開始就決意放棄的，但大家繼續討論的是兩數相乘會否進位的情況，所以才這是使我百思不得其解的地方。

總共( 4028 + 1 )位數

2014-06-26 23:30:04 補充：
a = 2^4028：m位數

b = 5^4028：n位數

ab：( m + n )位數

總共有 ( 4028 + 1 )位數

有什麼地方困惑嗎?

2014-06-27 01:57:54 補充：
參考看看

https://farm4.staticflickr.com/3866/14514015795_e917387de4_o.gif

2014-06-27 14:44:49 補充：
a = 2^k：m位數

b = 5^k：n位數

ab = ( m + n )位數

a = 4^1000 = 2^2000：p位數

b = 4^1014 = 2^2028：q位數

c = 5^2000：s位數

d = 5^2028：t位數

p + q + s + t = ( ac + bd )位數

還是對的阿