F.4 變分應用題

1. 一立方體的重量W g與它的邊長s cm的立方成正比。已知邊長5cm的立方體的重量為250g。求當重量為128g時的立方體的邊長。

let W=ks3
k=W/s3
W1/s13=W2/s23
250/53=128/s3
2=128/s3
s3=64
s=4cm

2. 完成一項工程所需的日數D與參與人數N成反比。已知若有4人參與，該工程便可於12日完成。若該工程可於5日內完成，所需的最少參與人數為多少？

let D=k/N
k=DN
D1N1=D2N2
(12)(4)=(5)N
N=9.6
∴5日完成,需9.6人
∴5日內完成，所需的最少參與人數為10人

3. 設y隨x的平方正變。若x增加20%，求y的百分變化。

let y=kx2
y百分變化
=(y-yo)/yo
=(k[(1+20%)x]2-kx2)/(kx2)
=kx2[(1+20%)2-1]/(kx2)
=(1+20%)2-1
=1.22-1
=0.44
=+44%

4. 設y隨x^3反變。當x減少20%時，求y的百分變化。

let y=k/x3
y百分變化
=(y-yo)/yo
=(k/[(1-20%)x]3-k/x3)/(k/x3)
=k/x3[1/(1-20%)3-1]/(k/x3)
=1/(1-20%)3-1
=1/0.83-1
=1.953125-1
=0.953125
=+95.3125%

5. 設y隨x^2及z^3聯變。若x增加5%及z減少3%，求y的百分變化。(準確至3位數字)

let y=kx2z3
y百分變化
=(y-yo)/yo
=(k[(1+5%)x]2[(1-3%)z]3-kx2z3)/(kx2z3)
=kx2z3[(1+5%)2(1-3%)3-1]/(kx2z3)
=(1+5%)2(1-3%)3-1
=1.0520.973-1
=(1.1025)(0.912673)-1
=1.0062219825-1
=0.0062219825
=+0.62219825%
=+0.622%。(準確至3位數字)

2014-06-21 21:14:56 補充：
感謝 fighting gravity ( 中學級 5 級 ) 提醒!
以上为本人一時懶惰
特此在每条加上「k為非零常數」
以及
第二条「N≠0」
第四条「x≠0」

無錯，k 為非零常數 (non-zero constant)。

1.
W=k(s^3) k為不是零常數
250=(5^3)k
k=2
W= 2s^3
128=2s^3
s=4
當重量為128g時的立方體的邊長是4cm。

2.
D=k/N k為不是零常數
12=k/4
k=48
D=48/N
5=48/N
N=9.6
若該工程可於5日內完成，所需的最少參與人數為10人。

3.
y=kx^2 k為不是零常數
新y=k[(1+0.2)x]^2
新y=1.44x^2
y的百分變化=[k(1.44x^2)-kx^2]/(kx^2) *100%
y的百分變化=44%

4.
y=k/(x^3) k為不是零常數
新y=k/[(1-0.2)x]^3
新y=k/(0.512x^3)
y的百分變化=(1/0.512 -1)*100%
y的百分變化=95.3125%

5.
y=k(x^2)(z^3) k為不是零常數
新y=k{[(1+0.05)x]^2}{[(1-0.03)x]^3}
新y=1.006221983k(x^2)(z^3)
y的百分變化=(1.006221983-1)*100%
y的百分變化=0.622% (準確至3位數字)