一題數學證明，數學高手請進

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圖片參考：https://s.yimg.com/rk/HA05107138/o/2091822209.png

感謝 邊位都好 和 知足常樂 的補充說明

好呀，這個也是典型的鴿籠題，可以看看以下的 Example 1.2：

http://books.google.com.hk/books?id=TzJ2L9ZmlQUC&lpg=PP1&hl=zh-TW&pg=PA2#v=onepage&q&f=false

2014-06-21 19:38:28 補充：
回 意見 001，你的說法就如以上 Example 1.2 的例子。

可算是本題的續問。

但同時也留意一點，本題的 1997 和以上 Example 1.2 的 2003 也是質數/素數/prime number，可以避免了一些麻煩。

我的意思是，題目不是任意設定也可，例如：
3, 33, 333, 3333, ... 整個數列也沒有項可以被 5 整除。
因為你最後考量 i 個 0 實指 10 的 i 次方，這次不與 5 互質。

所以於此情況，本題的問法可以問，但 001 或 Example 1.2 的問法則無法續問。

〔希望我這裏的解說夠清晰。〕

2014-06-21 23:05:11 補充：
邊位都好 大師，對，您說得對。

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邏輯上 自由自在 大師的解說是正確的，
但 (ai－aj) 這個數值明顯地個位數是 0，
若它可被 1997 整除，則商的個位數也只可能是 0，
所以正確地說，一定有一個 an 是可被 1997 整除的。
(其中 1 <= n <= 1997)

2014-06-21 21:50:33 補充：
多謝 知足常樂 大師的分享。

因為問題是數字「6」和「0」的組合，所以才有此一問。
(當然可以取巧地在 an 後加個 0 就可以了。)

其實可以換另一個角度回答：
在 6, 60, 600, 6000, ... 數中，它們除以 1997，餘數總有幾個加起來是 1997 的倍數的。
例如第1, 5, 11, 13, 16 就是了，即
6,006,060,000,060,006 可被 1997 整除。

(我當然不是拿 6 來做的。)