排列與組合及概率

見第一個人答錯(a)，我就黎修正一下啦：
(a)
方法一
設共有16個位置（1-16)，分別屬於四組（ABCD）
A：01 02 03 04
B：05 06 07 08
C：09 10 11 12
D：13 14 15 16
設小星處於01位置，小彬與小星同組，則小彬必須處於02 03 或04位置，而餘下的位置數為15，因此P（小彬與小星同組）＝3/15 ＝1/5
方法二
設有ABCD四組，而小星與小彬共同處於A組，
P（小星與小彬共同處於A組）
＝小星與小彬共同處於A組的組合／所有可能的A組組合
＝14C2／16C4
＝1/20
由於共有四組，P（小彬與小星同組）＝1/20 x 4 = 1/5

(b)
由於小星的編號是1，他必定是第一個抽球，黑箱共有7個黃球，假設開始所有人均抽中黃球，第八人必定抽中紅球，即小星需於第一次或第二次抽球中勝出，則
P（小星進入第二回合）
＝P（小星於第一次抽球中勝出）＋P（小星於第一次抽球中勝出）
＝(5/12) + (7/12) (6/11) (5/10) (4/9) (5/8)
= 365/792

(c)
小星與小彬若在第一回合同組，則只能有一人進入第二回合，因此E（小星與小彬在第一回合同組）與E（小星與小彬在第二回合同組）為獨立事件；而小星與小彬若要在第二回合同組，前提為他們第一回合必然不同組，則
P（小星與小彬在任一回合同組）
＝P（小星與小彬在第一回合同組）＋P（小星與小彬在第二回合同組）
＝P（小星與小彬在第一回合同組）＋P（小星與小彬在第一回合不同組）xP（小星進入第二回合）xP（小彬進入第二回合）
＝(1/5) + (1 - 1/5) (365/792) (365/792)
＝0.370 （3 sig. fig.)

(d)(i)
要計算條件概率，要依從公式 P(A | B)=P(A and B) / P(B)
P(小星進入第二回合 and 小星與小彬在任一回合同組）
＝P（小星與小彬在第一回合同組 and 小星進入第二回合）＋P（小星與小彬在第二回合同組）
＝(1/5) (365/792) + (1 - 1/5) (365/792) (365/792)
＝0.262 (3 sig. fig.)
P(小星進入第二回合 | 小星與小彬在任一回合同組）
＝P(小星進入第二回合 and 小星與小彬在任一回合同組）/P( 小星與小彬在任一回合同組）
＝(0.262) / (0.370)
＝0.709 (3 sig. fig.)

(d)(ii)
先計算兩人各自的期望值
小星的期望值
＝P（小星進入第二回合 | 小星與小彬在任一回合同組）x ［P（小星於第一次抽球中勝出）x 1 + P（小星於第二次抽球中勝出）x2］
＝(0.709) [ (5/12) + (7/12) (6/11) (5/10) (4/9) (5/8) x 2 ]
＝0.358 (3 sig. fig.)

而要計算小彬的期望值，則需知道P(小彬進入第二回合｜小星與小彬在任一回合同組）
P(小星進入第二回合 and 小星與小彬在任一回合同組）
＝P（小星與小彬在第一回合同組 and 小彬進入第二回合）＋P（小星與小彬在第二回合同組）
＝(1/5) ［(7/12) (5/11) + (7/12) (6/11) (5/10) (4/9) (3/8) (5/7)］ + (1 - 1/5) (365/792) (365/792)
＝0.227 (3 sig. fig.)
P(小彬進入第二回合 | 小星與小彬在任一回合同組）
＝P(小彬進入第二回合 and 小星與小彬在任一回合同組）/P( 小星與小彬在任一回合同組）
＝(0.227) / (0.370)
＝0.613 (3 sig. fig.)

小彬的期望值
＝P（小彬進入第二回合 | 小星與小彬在任一回合同組）x ［P（小彬於第一次抽球中勝出）x 1 + P（小彬於第二次抽球中勝出）x2］
＝(0.613) [ (7/12) (5/11) + (7/12) (6/11) (5/10) (4/9) (3/8) (5/7) x 2 ]
＝0.186 (3 sig. fig.)

小彬的期望期x2
＝0.371...
> 0.358

因此小軒的宣稱正確。

呢題有啲難度，希望唔冇計錯 lol

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這條題目比較長, 打字需時, 請等等。

2014-06-17 19:00:57 補充：
19(a)
方法1(例舉所有排列組合):
小星及小彬的分組組合:
AA, AB, AC, AD
BA, BB. BC, BD
CA, CB, CC, CD
DA, DB, DC, DD
共有16可能組合
同一組: AA, BB, CC, DD
小星及小彬在第一回合被分配至同一組的概率 = 4/16 = 1/4

方法2:
小星及小彬在第一回合被分配至同一組的概率
= P(AA) + P(BB) + P(CC) + P(DD)
= (1/4)(1/4) + (1/4)(1/4) + (1/4)(1/4) + (1/4)(1/4)
= 1/4

方法3:
假設小星分到X組(A,B,C,D 其中一個), 小彬也要分到X組,
才符合小星及小彬在第一回合被分配至同一組
因為X組是A,B,C,D 其中一個,即是4組的其中1組
所以, 小星及小彬在第一回合被分配至同一組的概率 =1/4

19(b)
因為抽球次序依照被編配的號碼的順序,而且小星拿"1"號
所以小星在任何一組都一定是第1名抽球
因為黑箱裡有7個黃球和5個紅球, 而抽第1個人抽到紅球就進入第二回合, 球不放回黑箱裡, 還有1組是有4個人
所以小星能夠進入第二回合的情況只有第1局或第2局抽到紅球

小星能夠進入第二回合的概率
= P(第1局抽到紅球) + P(第2局抽到紅球)
= (5/12) + [(7/12)(6/11)(5/10)(4/9)](5/8) (5/8 前面的是第1局全部人抽到黃球)
= 365/792 = 0.461

19(c)
小星及小彬在其中一個回合同一組的可能有
小星及小彬在第一回合被分配至同一組, 或
小星及小彬在第二回合被分配至同一組
(理論上小星及小彬在第一和第二回合都是被分配至同一組也算是
小星及小彬在其中一個回合同一組, 但這個不可能出現,
因為每組只有一個能入第二回合, 如果他們在第一回合相遇,
就不可能第二回合相遇)

小星及小彬在其中一個回合同一組的概率
= P(第一回合被分配至同一組) + P(第二回合被分配至同一組)
= P(第一回合被分配至同一組) + P(第一回合被分配至不同組 和 他們都能入第二回合)
= 1/4 + (3/4)(365/792)(365/792)
(他們都能入第二回合的概率365/792因為他們在不同的組別也是第一個抽球)
= 1026939/2509056 = 342313/836352 = 0.409

19(d)(i)
已知小星與小彬在其中一個回合同一組,

小星能夠進入第二回合的概率
= P(小星能夠進入第二回合 和 小星與小彬在其中一個回合同一組) / P(小星與小彬在其中一個回合同一組)
= P(小星能夠進入第二回合 和 小星與小彬在第一或第二回合同一組) / P(小星與小彬在其中一個回合同一組)
P( (小星能夠進入第二回合 和 第一回合被分配至同一組) 或 (小星能夠進入第二回合 和 第二回合被分配至同一組) )/ P(小星與小彬在其中一個回合同一組)
P( (小星能夠進入第二回合 和 第一回合被分配至同一組) 或 (第一回合被分配至不同組 和 他們都能入第二回合) )/ P(小星與小彬在其中一個回合同一組)
= ( (1/4)(365/792) + (3/4)(365/792)(365/792) ) / (1026939/2509056)
= (688755/2509056) / (1026939/2509056)
= 688755/1026939
= 229585/342313 = 0.671

太多數字了, 剩下的在補充和意見欄
而且每分題涉及大量運算, 希望沒有錯,
如果錯了, 也希望取得那條的做法概念

2014-06-17 19:03:25 補充：
19(d)(i)
已知小星與小彬在其中一個回合同一組,
而印花的數目 = 勝出的第2回合局數
小星得到印花的期望數目
= (1)[ P(在第2回合的第1局勝出) ] + (2)[ P(在第2回合的第2局勝出) ]
= (1)(0.671)(5/12)+(2)(0.671)[(7/12)(6/11)(5/10)(4/9)](5/8)
= (1)(0.671)(5/12)+(2)(0.671)(365/792 – 5/12 )
= (0.671)( 5/12 + 2(365/792) – 2(5/12) )
= (0.671)( 2(365/792)–5/12 )=0.505

2014-06-17 19:03:43 補充：
已知小星與小彬在其中一個回合同一組,
他們在第一回合相遇並小彬能夠進入第二回合的概率
= ( (1/4)( (7/12)(5/11) + (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) ) / (1026939/2509056)
他們在第二回合相遇並小彬能夠進入第二回合的概率
= (3/4) (365/792)(365/792) ) / (1026939/2509056)

2014-06-17 19:04:46 補充：
小彬得到印花的期望數目
= (1)[ P(在第2回合的第1局勝出) ] + (2)[ P(在第2回合的第2局勝出) ]

2014-06-17 19:05:31 補充：
= (1) ( (1/4)( (7/12)(5/11) + (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) )(5/12) + (3/4) (365/792)(365/792)(7/12)(5/11) ) / 0.671
+ (2) ( (1/4)( (7/12)(5/11) + (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) ) (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(5/8) + (3/4) (365/792)(365/792) (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) ) / 0.671

2014-06-17 19:07:30 補充：
第5個意見的0.671 應該是 0.409

2014-06-17 19:07:55 補充：
= (1) ( (1/4)( (7/12)(5/11) + (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) )(5/12) + (3/4) (365/792)(365/792)(7/12)(5/11) ) / 0.409
+ (2) ( (1/4)( (7/12)(5/11) + (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) ) (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(5/8) + (3/4) (365/792)(365/792) (7/12)(6/11)(5/10)(4/9)(3/8)(5/7) ) / 0.409

2014-06-17 19:08:45 補充：
= 0.206

小彬得到印花的期望數目 = 0.206
小星得到印花的期望數目 = 0.505 > 小彬得到印花的期望數目
小星得到印花的期望數目小於小彬得到的兩倍 是不正確

2014-06-17 19:10:12 補充：
如果咁多位朋友見到有錯請快點提出並修改一下, 謝謝

2014-06-22 14:13:50 補充：
ChanKin Ho,
多謝你修正 part(a), 連帶其他都錯
而part (d)(ii)我理解錯了問題,
幸好有ChanKin Ho的修正, 請選ChanKin Ho為最佳, 謝謝!