請用正負號表求以下函數的局部極值

1)y=(x+1)/(x^2+2x+2)
y=(x+1) (x^2+2x+2)^(-1)
dy/dx=(1) (x^2+2x+2)^(-1) + (x+1) (-1) (x^2+2x+2)^(-2) (2x+2)
dy/dx=(x^2+2x+2)^(-1) - 2(x+1)^2 (x^2+2x+2)^(-2)

dy/dx=0
(x^2+2x+2)^(-1) - 2(x+1)^2 (x^2+2x+2)^(-2) = 0
(x^2+2x+2)^(-1) = 2(x+1)^2 (x^2+2x+2)^(-2)
(x^2+2x+2) = 2(x+1)^2
x^2+2x+2 = 2x^2+4x+2
x^2+2x=0
x=0或-2

.......... x<-2 ... -2<x<0 ... x>0
dy/dx .... - .......... + .......... -

當 x=-2 , y=[(-2)+1]/[(-2)^2+2*(-2)+2]=-1/2
當 x=0 , y=1/2

∴局部極小值=-1/2 , 局部極大值=1/2

2)y=e^2x - 2e^x - 3
dy/dx=2e^(2x) - 2e^x=2e^x(e^x-1)

dy/dx=0
2e^x(e^x-1)=0
x=ln1/lne=0

dy/dx=2e^(2x) - 2e^x
d^2y/dx^2=4e^(2x) - 2e^x

d^2y/dx|(x=0) = 4e^(2*0) - 2e^0 = 4-2 = 2

∴局部極小值=e^(2*0) - 2e^(0) - 3=-4



以上2題係用左2個唔同嘅方法黎計局部極值

2014-06-04 21:25:14 補充：
補足：第2題d^2y/dx|(x=0) = 2>0

Sorry ...

第2題如果用''正負號表求局部極值''嘅話，

dy/dx=2e^(2x) - 2e^x=2e^x(e^x-1)

.......... x<0 ... x>0
dy/dx ... - ........+
因為是由 - 變做 +，所以只有 局部極小值

當x=0，y=e^[2(0)] - 2e^0 - 3=-4

∴局部極小值=-4

2014-06-04 23:04:42 補充：
其實商法則是可以的

y=(x+1)/(x^2+2x+2)
dy/dx=[ (1+0)(x^2+2x+2) + (x+1)(2x+2+0) ] / [ (x^2+2x+2)^2 ]
dy/dx=[ (x^2+2x+2) + 2(x+1)^2 ] / [ (x^2+2x+2)^2 ]
dy/dx=1/ (x^2+2x+2) + 2(x+1)^2 / [ (x^2+2x+2)^2
dy/dx=(x^2+2x+2)^(-1) - 2(x+1)^2 (x^2+2x+2)^(-2)

至於我變做(x+1) (x^2+2x+2)^(-1)，其實只係想方便d 0.0