微積分:積分(變數變換)

2014-06-02 5:03 am
1. ∫ (1+√x)^100 dx
麻煩回答的大大令u=√x解題,(以下是我簡略的算式過程,因為算出來跟解答答案不同,所以後面我就沒有全部列出來了......)
原式等於:2 ∫ [(1+u)^100] *u du
+ u (1+u)^100
- 1 [(1+u)^101]/101
+ 0 [(1+u)^102]/(101*102)
......

ans: [(1/51) (1+√x)^102]-[(2/101) (1+√x)^101]+c

2. ∫ 從0到1 [(x^2)/(1+x^2)^2] dx
麻煩回答的大大令u=1+x^2解題,感激不盡 !!!!!

ans: (π/8)-(1/4) ->此答案緊供參考
更新1:

c大: 不好意思,請問可以第一題令u=√x解題,第二題令u=1+x^2解題嗎? 因為我想知道計算過程哪邊有錯。您的參考答案可以留著,我可以多學一種算法,感謝您 !!!!

回答 (6)

2014-06-02 6:14 am
✔ 最佳答案
參考
1.
u=1+√x
du = dx/(2√x)
dx = 2(u-1)du

∫ u^1002(u-1) du
=2∫(u^101 – u^100)du
=(2/102)u^102 – (2/101)u^101 + C
=(1/51) (1+√x)^102 - (2/101) (1+√x)^101 + C

2.
sec^2θ = tan^2θ+ 1
令x = tanθ, θ=﹝0,π/4﹞
dx = sec^2θdθ

∫ 從0到1 [(x^2)/(1+x^2)^2] dx
=∫﹝0,π/4﹞(tan^2θ/sec^4θ)sec^2θdθ
=∫﹝0,π/4﹞(1 - sec^2θ)dθ
=∫﹝0,π/4﹞(1 - cos^2θ)dθ
=∫﹝0,π/4﹞sin^2θdθ
=-sinθcosθ/2 + θ/2 + C, θ=﹝0,π/4﹞
=-1/4 +π/8
2014-06-21 9:53 pm
到下面的網址看看吧

▶▶http://candy5660601.pixnet.net/blog
2014-06-16 2:16 am
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2014-06-05 1:00 pm
我想這應該能幫你
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2014-06-05 05:00:26 補充:
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2014-06-04 8:37 pm
第1題用 u = √x 變換可以, 只是用 u = 1+√x 較簡便.


第2題如用 u = 1+x^2, 則 x = √(u - 1), dx = du/[2√(u-1)]
∫_[0,1] x^2/(1+x^2)^2 dx = ∫_[1,2] [(u-1)/u^2] 1/[2√(u-1)] du
= (1/2) ∫_[1,2] √(u-1) / u^2 du
這顯然無法輕易算得結果.
2014-06-03 1:17 pm
提供給妳參考
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2014-06-03 05:17:45 補充:
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收錄日期: 2021-05-04 01:54:45
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