數學科能力競賽 Part11

(17)由於本題缺了 ae 項，直覺 a，e 比較“不重要”，所以聯想到以下這個方法。
ab + bc + cd + de = b(a + c) + d(c + e) …(1)
對於非負實數序組 (a，b，c，d，e) = (a1，b1，c1，d1，e1)，若 a 將a1 分給 c (從而五數和保持不變)，成為 (0，b1，a1+ c1，d1，e1)，考慮(1)式的值之變化，則顯然其將變大或不變，即:
b1 (a1 + c1) + d1 (c1 + e1)<= b1 (0 + a1 + c1) + d1 (a1+ c1 + e1)
所以我們考慮(1)式的最大值，可以令 a = 0 而不影響結果；同理亦可再令 e = 0 而不影響結果。(本題 a，e 等價)
那麼原題成為: b，c，d 皆為非負實數，滿足 b + c + d = 10，則 bc + cd 的最大值為?
由算幾不等式，有:
[(b + d) + c]/ 2 >= √[c(b + d)]
5 >= √(bc + cd)
25 >= bc+ cd
“=”成立的條件: b = d = 5/2，c= 5
因此，ab + bc + cd + de 的最大值為 25

(18)由 a + b + c = 3，原式可化為
(-a + b + c)( a - b + c)( a + b - c) <= a²b²c²…(1)
由式子型態會想到算幾不等式；但是，算幾不等式(以及柯西不等式)提供的都是”齊次的型態”(指不等號兩側次數相同)，而(1)式卻非如此。所以想到把左式利用a + b + c = 3 把次數補齊，成為:
(a + b + c)³(-a + b + c)( a - b + c)( a + b - c) <=27a²b²c²…(2)
為了簡化(2)式以及利用算幾不等式，令-a + b + c = x，a - b + c = y，a + b – c = z，(2)式成為:
(64 / 27)(x + y + z)³xyx <= (x + y)²(y + z)²(x + z)²…(3)
進行下去之前，先解決 x，y，z 的正負問題(非負實數才能用算幾不等式)。由於 x，y，z 任意兩者之和為正，所以至多有一個 <= 0。若 x，y，z 中恰有一個 <= 0，則(3)式左側 <=0，右側 >= 0，命題成立。故以下只考慮 x，y，z > 0 之情況。
由算幾不等式，知
xyz / (x + y)(y+ z)(x + z) <= 1/8…(4) (交叉相乘後，用算幾不等式)
利用乘法公式
(x + y)(y + z)(x+ z) + xyz = (x + y + z)(xy + yz + xz)
配合(4)，知
(x + y + z)(xy + yz + xz) / (x + y)(y + z)(x + z) <= 9/8
平方，即64(x + y + z)²(xy + yz + xz)² / 81<= (x + y)²(y + z)²(x + z)²
比較(3)式，以下只需證明(64 / 27)(x + y + z)³xyx <= 64(x + y + z)²(xy + yz + xz)² / 81
即3(x + y + z)³xyx <= (x + y + z)²(xy + yz + xz)²
即3(x + y + z)xyx<= (xy + yz + xz)²
即(x + y + z)xyx<= x²y² + y²z² + x²z²…(5)
由x²y² + y²z² >= 2√[(x²y²)(y²z²)] = 2xy²zy²z² + x²z² >= 2xyz²x²y² + x²z² >= 2x²yz
上列三個式子相加，即得(5)式，因此原命題得證。
註: 這個題目也可以把它”幾何化”: 將 a，b，c 視為三角形三邊長 (當無法構成三角形時，原命題明顯成立)，利用正弦定理與餘弦定理分別皆可得到一個證明。限於篇幅，不贅。



2014-06-03 12:59:44 補充：
沒有臉書，隱者大有沒有其他的貼文處?

2014-06-03 18:55:23 補充：
謝謝隱者大的分享。另外摸索出一個基於餘弦定理的作法:

△ABC中，(1 + cosA) (1 + cosB) (1 + cosC)<=(1+ 1/2)³ (算幾不等式) = 27/8…(1)

又由餘弦定理

1 + cosA = [(b + c)² - a²] / 2bc = 3(-a + b + c) / 2bc

1 + cosB = [(a + c)² - b²] / 2ac = 3(a - b + c) / 2ac

1 + cosC = [(a + b)² - c²] / 2ab = 3(a + b - c) / 2ab

2014-06-03 18:55:52 補充：
(承上)

三式相乘:

(1 + cosA) (1 + cosB) (1 + cosC) = (27/8)(-a + b + c)( a - b + c)( a + b - c) / a²b²c²

再利用(1)

27/8 >= (27/8)(-a + b + c)( a - b + c)( a + b - c) / a²b²c²

故

(-a + b + c)( a - b + c)( a + b - c) <= a²b²c²

2014-06-08 21:59:52 補充：
(x + y + z)(xy + yz + xz) / (x + y)(y + z)(x + z) <= 9/8

平方
(x + y + z)²(xy + yz + xz)² / (x + y)²(y + z)²(x + z)² <= 81/64

64(x + y + z)²(xy + yz + xz)² <= 81(x + y)²(y + z)²(x + z)²

64(x + y + z)²(xy + yz + xz)² / 81 <= (x + y)²(y + z)²(x + z)²

2014-06-11 21:48:59 補充：
我想不一定。

畢竟就高中生言，"三角形ABC中，sinA + sinB + sinC 與 cosA + cosB + cosC 之最大值出現在正三角形時"這個性質是不是可以不經證明直接使用，或許有些討論空間。

不過每一種思維與方法都有其價值，多認識有其好處。

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最佳解答
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龘燚众淼雔灥

2014-06-05 05:03:01 補充：
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2014-06-03 12:12:35 補充：
cefpirome 大 ....讚^5 ...

2014-06-03 14:11:14 補充：
18.
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2014-06-05 01:41:19 補充：
精彩~~謝謝分享~~

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樓上的，你已經惹到我了！

你在意見區隨便怎麼留言都沒關係，
就是不要給我出現在答案區內！！

2014-06-11 15:02:53 補充：
我猜這題原本的解答是設定成餘弦定理的方法

因為最佳解答的那個方法繞太多彎了！！

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