[急] 數學問題 國中全範圍

(1)
Sol
AC，AD相交於G
G為BD中點，E為BC中點
F為△ACD重心
CF=2FG
AF=2CF
△ABF=2△BCF，△BEF=△EFC
△ABF=4△ECF
四邊形ABEF=△ABF+△BEF=4△ECF+△ECF=5△ECF
△CDF=2△ECF
(D)

(2)
Sol
AB交兩圓於C
∠ACO1=(180－78)/2=51度
∠O1CO2=60度
∠BCO2=69度
180－2*69=42
(A)

(3)
Sol
設2006=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)
2006=(a+a+b－1)*b/2
(2a+b－1)*b=4012
4012=2^2*17*59
有1，2，4，17，34，59，68，118，236，1003，2006，4012共12個正因數
(1) b=2
(2a+2－1)*2=4012
2a+1=2006(不合)
(2) b=4
(2a+4－1)*4=4012
2a+3=1003
a=500----------------------(1)
(3) b=17
(2a+17－1)*17=4012
2a+16=236
a=110-----------------------(2)
(4) b=34
(2a+34－1)*34=4012
2a+33=118(不合)
(5) b=59
(2a+59－1)*59=4012
2a+58=68
a=5-------------------------(3)
(6) b=118
(2a+118－1)*118=4012
2a+117=34(不合)
117>34
綜合(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)
共3種

(4)
Sol
d=5/4
a2=a1+d－57/4=a1+5/4
a1=－15.5
an=a1+(n－1)*d
=－15.5+(n－1)*(5/4)
=－15.5+1.25n－1.25
=1.25n－16.75
Sn=(－15.5+1.25n－16.75)*n/2=－78
1.25n^2－32.25n+78=0
5n^2－129n+623=0
(4n+39)(n－16)=0
n=16 or n=－39/4(不合)

(5)
Sol
過C作CE//AD交AB於E
360-90－2*67.5=135
∠BCD=135度
∠BEC=67.5度
CE=BC
CD=CE
∠CED=45度
∠AED=67.5度
AD=DE=2√2
四邊形ABCD=△ADE+△CDE+△BCE
=(1/2)*(2√2)*(2√2)*Sin45度+2*2/2+(1/2)*2*2*Sin45度
=2√2+2+√2
=2+3√2

(6)
Sol
∠1=90度
∠2=60度
∠3=90度
∠4=∠EFD+∠DFB+∠AFB
=(1/2)DE劣弧+60度+(1/2)AB劣弧
=(1/2)AB優弧>90度
∠4>∠1=∠3>∠2

(7)
Sol
13/10，13/11，13/12，14/1
3/1=>1
4/1=>3
5/1=>6
….
(n+2)/1=>1+2+…+n=n(n+1)/2
14/1=>12*13/2=78
13/10=>75

(8)
Sol
設n=xabc
1^3=1，2^3=8，3^3=27，4^3=64，5^3=125，6^63=216，7^3=243，8^8=512，9^9=729
c=2
n=xab2=10p+2
n^3=1000p^3+3*100p^2*2+3*10p*4+8
=1000p^3+200p^2+120p+8
=100(10p^3+2P^2)+120p+8
p個位數=4 or p個位數=9
(1) p個位數=4
n=10q+42
442^3=86530888
(2) p個位數=9
n=10q+92
192^3=7077888
綜合(1)，(2)
n最小值為192

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一、連接BF，形成5個區塊，令△ABF=①、△BEF=②、△ECF=③、△CFD=④、△AFD=⑤、四邊形ABEF=1，則：

①+④=1/2 AND ①+②+③=1/2
④=②+③，又②=③
④=2*③
③+④=1/4 ④=1/6、③=1/12
所以：②=1/12、①=1/3
因此：甲=5/12、乙=2/12

(8) 設n為正整數，若n³的末三位數字為888，則n最小值為_____。

b^3=8 => b=2

(10a+2)^3=xxx88 => a=4 or 9

經過計算應該是192

(1) (D)如圖(一)，長方形ABCD，E=BC中點，F=AC、DE交點，則(甲)面積=(乙)面積的多少倍？ (A)3 (B)3/2 (C)2 (D)5/2B=(0,0), E(a/2,0), C=(a,0), D=(a,b), A=(0,b)AC line: y=b(1-x/a)ED lin: y=2b(x-a/2)/a=> F=(2a/3,b/3)A1=Area(BEFAB)=|0 a/2 2a/3 0 0|
.|0 .0 .b/3 .b 0|/2=(ab/6+2ab/3)/2=5ab/12A2=Area(CDFC)=|a a 2a/3 a|
.|0 b b/3 .0|/2=(ab+ab/3-2ab/3-ab/3)/2=ab/6A1/A2=5/2......(D) (2) (A)如圖(二)，半徑相同的兩圓中，O1、O2分別為其圓心，A、B在圓周上，且AB通過兩圓交點，∠A=78度，則∠B=？ (A)42度 (B)56度 (C)58度 (D)63度ΔACO1=等邊Δ => ∠AO1C=(180-78)/2=24ΔCO1O2=正Δ => ∠CO1O2=∠CO2O1=60ΔBCO2=等邊Δ => ∠BO2C=180-2B4邊形ABO2O1: 360=A+O1+O2+B=78+(24+60)+(60+180-2B)+BB=78+84+240-360=42.....(A)
(3) 將正整數2006用二個或二個以上連續正整數之和來表示，請問共有幾種不同的表示法(這些連續正整數由小而大排列)？_____。2006=x+(x+1)+(x+2)+...+(x+n-1)=n*x+(1+2+3+...+n-1)=n*x+n(n-1)/2x(n)=(4012+n-n^2)/2nx(4)=(4012+4-16)/8=4000/8=1000/2=500=> 500+501+502+503=2006 (4) (B)已知f(x+1)=f(x)+5/4，且f(2)=-14又1/4，若f(2)+f(3)+f(4)+......+f(n)=-78，則n=？
(A)17 (B)16 (C)15 (D)14f(x+1)=f(x)+5/4 => 遞迴函數: An=A(n-1)+5/4=> 等差級數: d=5/4, a=-57/4S=n*a+n(n-1)d/2 => 2S=2na+dn^2-nd0=5n^2/4-5n/4-2*57n/4+2*78=5n^2-119n+78*8n=16......(B)


2014-05-31 07:21:10 補充：
(6) 如圖(四)，△FDB為圓內接正三角形，四邊形ACEF為圓內接四邊形，已知∠

C=60度，試比較圖中∠1、∠2、∠3、∠4(∠AFE)的大小？_____。

∠4=∠F

=∠C補角

=180-60

=120

連接FO延長交圓周於G點,再連接EG,

E點在直徑之上 => ∠3=∠E>90

∠1=∠A

=arc(FE+ED+DC)/2

>ARC(FE+ED)/2=B=D=60

=> F>E>A>D

2014-05-31 07:25:17 補充：
(7) 觀察下列分數的排列規則：3/1、3/2、4/1、4/2、4/3、5/1、5/2、5/3、5/4

，......請問13/10出現在第_____項。

(8) 設n為正整數，若n³的末三位數字為888，則n最小值為_____。

b^3=8 => b=2

(10a+2)^3=xxx88 => a=4 => 42^3=74088

(10a+42)^3=xxxx888 => 442^3=86350888.....ans

2014-05-31 07:31:27 補充：
(7) 觀察下列分數的排列規則：3/1、3/2、4/1、4/2、4/3、5/1、5/2、5/3、5/4

，......請問13/10出現在第_____項。

13/1,13/2,13/3,...,13/10,13/11,13/12

=> n=2+3+4+...+11+(12-2)

=(1+2+3+...+12)-1-2

=12*13/2-3

=78-3

=75......ans

2014-05-31 07:40:45 補充：
(5) 如圖(三)，四邊形ABCD中，∠D=90度，∠A=∠B=67.5度，CD=BC=2，則四邊形

ABCD的面積為_____平方單位。

C=360-90-67.5*2=135(deg)

由CB任一點E,作EF//CD=無限多ㄍ相似4邊形

=> 面積=不確定