αβγ=1/30,αβ+βγ+γα=1/3,α+β+γ=..

解數學題：αβγ=1/30，αβ+βγ+γα=1/3，α+β+γ=31/30，α<β<γ，α=? β=? γ=?
Sol
設α，β，γ為x^3+ax^2+bx+c=0之三根
α+β+γ=31/30
a=－31/30
αβ+βγ+γα=1/3
b=1/3
αβγ=1/30
c=－1/30
So
α，β，γ為 x^3－31x^2/30+x/3－1/30=0之三根
α，β，γ為 30x^3－31x^2+10x－1=0之三根
30x^3－31x^2+10x－1=0
(5x－1)(6x^2－5x+1)=0
(5x－1)((3x－1)(2x－1)=0
x=1/5 or x=1/3 or x=1/2
So
α=1/5，β=1/3，γ=1/2

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2014-06-03 05:29:16 補充：
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1、αβγ=1/30
2、αβ+βγ+γα=1/3
3、α+β+γ=31/30

30的因數有1，2，3，5，6，10，15，30
挑3個不同因數相乘為30，並且3個因數不會重複(α<β<γ)，你會得到:
1，2，15
1，3，10
1，5，6
2，3，5

挑3個不同因數的倒數相加為31/30
你就可以得到2，3，5三個因數是唯一解。
你將這3個數代入第二式，發現他可以解第二式。
α=2
β=3
γ=5