一題面積分的問題

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x^2-2xz+z^2-4(xy+yz-y^2-xz)=0x^2-2xz+z^2-4xy-4yz+4y^2+4xz=0 4y^2-4y(x+z)+x^2+2xz+z^2=0 4y^2-4y(x+z)+(x+z)^2=0 [2y-(x+z)]^2=0 所以2y=x+z




Problem：( dy／dx ) = [ ( 2x + y - 1 )／( x - 2 ) ]2

sol：

　　令：2x + y - 1 = 0　　　則：x = 2

　　　　x - 2 = 0　　　　　　　y = - 3

　　再令：X = x - 2　　　 則：x = X + 2

　　　　　Y = y - ( - 3 )　　　　y = Y - 3

　　→ ( dY／dX ) = [ ( 2X + Y )／X ]2

　　　　　　　　= [ 2 + ( Y／X ) ]2

　　令 ( Y／X ) = U → Y = XU

　　　　　　　　　→ ( dY／dX ) = U + X( dU／dX )

　　→ U + X( dU／dX ) = ( 2 + U )2

　　→ X( dU／dX ) = U2 + 3U + 4

　　→ [ 1／( U2 + 3U + 4 ) ]dU = ( 1／X )dX

　　上式已將 U 的函數與 X 的函數完全分離至等號兩邊，等號兩邊積分即可。

　　→∫[ 1／( U2 + 3U + 4 ) ]dU =∫( 1／X )dX + C

　　我們慢慢來算∫[ 1／( U2 + 3U + 4 ) ]dU 這個積分！

　　1／( U2 + 3U + 4 ) = 1／[ ( U + ( 3／2 ) )2 + ( 7／4 ) ]

　　∫[ 1／( U2 + 3U + 4 ) ]dU =∫{ 1／[ ( U + ( 3／2 ) )2 + ( 7／4 ) ] }dU

　　令 τ = U + ( 3／2 ) → dτ = dU

　　∫{ 1／[ τ2 + ( 7／4 ) ] }dτ

　　代常用積分公式：∫[ 1／( τ2 + a2 ) ] = ( 1／a ) tan - 1 ( τ／a ) + k ～ 要背喔！

　　∫{ 1／[ τ2 + ( 7／4 ) ] }dτ = ( 2／√7 ) tan - 1 ( 2τ／√7 ) + k

　　將 τ 還原回 U + ( 3／2 ) 可得：( 2／√7 ) tan - 1 [ ( 2U + 3 )／√7 ] + k

　　由：∫[ 1／( U2 + 3U + 4 ) ]dU =∫( 1／X )dX + C

　　得：( 2／√7 ) tan - 1 [ ( 2U + 3 )／√7 ] = ln│X│+ C

　　接下來通通都是整理，其實不需要，不果版主要求，我就整理一下吧！

　　( 2／√7 ) tan - 1 [ ( 2U + 3 )／√7 ] = ln│X│+ C

　　→ tan - 1 [ ( 2U + 3 )／√7 ] = ( √7／2 ) ln│X│+ ( √7／2 )C

　　→ ( 2U + 3 )／√7 = tan [ ( √7／2 ) ln│X│+ ( √7／2 )C ]

　　→ 2U + 3 = √7 tan [ ( √7／2 ) ln│X│+ ( √7／2 )C ]

　　→ U = ( √7／2 ) tan [ ( √7／2 ) ln│X│+ ( √7／2 )C ] - ( 3／2 )

　　令 ( √7／2 )C = c

　　將 X = x - 2、Y = y + 3、U = ( Y／X ) = [ ( y + 3 )／( x - 2 ) ] 通通代回

　　→ ( y + 3 )／( x - 2 ) = ( √7／2 ) tan [ ( √7／2 ) ln│x - 2│+ c ] - ( 3／2 ) #

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　　我整理的比您的解答更徹底、更好看，微分方程式的解沒有標準的型式！每個人用不同的方法、不同的技巧，甚至不同的個人計算習慣，所解出來的答案型式都不會相同！

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　　很多初學者會一直問我為何解出來的答案跟課本解答不同，例如有個一階微分方程式解如下：

ln│y│= ln│x│+ c

　　e ln│y│= e ln│x│+ c

→ y = xec

令 ec = C → y = Cx