微積分 limits and continuity 題目問題

👨🏻‍🏫 學術台數學

[匿名]

2014-05-18 7:49 am

Use polar corrdinates to find the limit.[If(r, θ)are polar corrdinates of the point (x,y)
with r>=0,note that r -> 0^+ as (x,y)->(0,0).]

1. lim (x,y)->(0,0) x^3+y^3 / x^2+y^2

2. lim (x,y)->(0,0) (x^2+y^2)ln(x^2+y^2)

3. lim(x,y)->(0,0) e^(-x^2-y^2) -1 / x^2 +y^2

我看了詳解看不太懂，像第一題詳解寫= lim r->0^+ (rcos^3 θ)+ (rsin^3 θ ) / r^2
= lim r->0^+ (rcos^3 θ)+ (rsin^3 θ )
=0
完全看不懂

另一是在例題的題目 lim(x,y)->(0,0) 3x^2y/ x^2+y^2 If it exists.

有誰可以"教"我呢越"詳細"越好 ~ 可以的話我需要的是考試解題技巧拉

回答 (10)

麻辣

2014-05-18 3:19 pm

✔ 最佳答案

x=r*cosQ=r*c, y=r*sinQ=r*s => x^2+y^2=r^2*(c^2+s^2)=r^2
1.lim(x,y)->(0,0)(x^3+y^3)/(x^2+y^2)=lim(r->0)[(rc)^3+(rs)^3]/r^2=lim(r->0)[r^3*(c^3+s^3)]/r^2=lim(r->0)[r*(c^3+s^3)]=0
2.lim(x,y)->(0,0)[(x^2+y^2)ln(x^2+y^2)]=lim(r->0)[r^2*ln(r^2)]=lim(r->0)[u*ln(u)]......u=r^2=lim(r->0)[ln(u)/(1/u)]=lim(r->0)[ln(u)'/(1/u)']......羅必達法則=lim(r->0){(1/u)/(-1/u^2)}=lim(r->0)(-u)=lim(r->0)(-r^2)=0

3.lim(x,y)->(0,0)[e^(-x^2-y^2)-1]/(x^2+y^2)=lim(r->0)[1/e^(r^2)-1]/r^2=lim(r->0){1/e^u-1}/u......u=r^2=lim(r->0){(1-e^u)/(u*e^u)}=lim(r->0){(1-e^u)'/(u*e^u)'}......羅必達法則=lim(r->0){(-e^u)/(u*e^u+e^u)}=-1/(0+1)=-1/1=-1

2014-05-18 07:23:17 補充：
4.lim(x,y)->(0,0)[3x^2*y/(x^2+y^2)

=lim(r->0)[3*(r*c)^2*(r*s)/r^2]

=lim(r->0)(3*r*c^2*s)

=0

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[匿名]

2014-06-28 9:03 pm

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[匿名]

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[匿名]

2014-06-05 1:24 pm

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[匿名]

2014-05-29 3:01 pm