證明 E(X+Y) = E(X) + E(Y)

基本公式: E(x)=Σx/nE(x+y)=Σ(x+y)/n=(Σx+Σy)/n=Σx/n+Σy/n=xbar+ybar=E(x)+E(y)


2014-05-15 19:02:18 補充：
補充:

E(x)=機率*平均所得 (平均所得=Sum/n)

=ΣWj/n (j=1~n)

=(W1+W2+...+Wn)/n

=(W1/Sum+W2/Sum+...+Wn/Sum)*Sum/n

=(P1+P2+...+Pn)*Sum/n (Pj=機率)

=機率*平均所得

=1*Sum/n

=Sum/n

=Xbar

=x平均值

同樣: E(y)=Ybar=y平均值

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這有類似的

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同時也有符號上的錯誤，P(pi) 是不可接受的符號表達方式。

隨機變數X發生的機率 p1 , p2 , ... , pnΣP(pi)=1
隨機變數Y發生的機率 q1 , q2 , ... , qn ΣP(qi)=1

發生的機率對X 與 Y而言互相獨立，故P(pi∩qi)=P(pi) P(qi)

E(X+Y)= ΣΣ(X+Y)P(pi∩qi)
=ΣΣ(XP(pi∩qi) +YP(pi∩qi))
=ΣΣ(XP(pi)P(qi) +YP(pi)P(qi))
=ΣXP(pi) ΣP(qi) +ΣYP(qi) ΣP(pi)
=ΣXP(pi) +ΣYP(qi)
=E(X)+E(Y)

E[X+Y] = Σ_xΣ_y {(x+y)P[X=x,Y=y]}
= Σ_xΣ_y (x P[X=x,Y=y]) + Σ_xΣ_y (y P[X=x,Y=y])
= Σ_x {x Σ_y P[X=x,Y=y]} + Σ_y {y Σ_x P[X=x,Y=y]}
= Σ_x {x P[X=x]} + Σ_y {y P[Y=y]}
= E[X] + E[Y]


說明:

1. 隨機變數 X, Y 的任何函數 (高等課程中會有些限制, 中學課程而且
只考慮離散型分布, 就忽略了) h(X,Y) 的期望值都可以寫成
E[h(X,Y)] = ΣΣ h(x,y)P[X=x,Y=y].
注意大寫 X, Y 代表隨機變數, 小寫 x, y 是普通變數.

2. 假設加總順序是可以改變的, Σ_x Σ_y f(x,y) = Σ_y Σ_x f(x,y).

3. P[X=x] = Σ_y P[X=x, Y=y], P[Y=y] = Σ_x P[X=x,Y=y]
也就是說 P[X=x,Y=y] 對所有 y 加總, 結果就是 X 的邊際機率
P[X=x]; 類似地, 對所有 x 加總就得到 P[Y=y].



2014-05-15 14:31:12 補充：
又, X, Y 不一定要 "可能值皆為 w1 , w2 , ... , wn", 而可以
X 的可能值是 u_1,...,u_m, Y 的可能值是 v_1,...,v_n. 而
X+Y 的可能值就是 u_1+v_1, u_1+v_2,...,u_1+v_n, u_2+v_1,
...,u_m+v_n 總共 mn 個組合.


事實上, X, Y 的可能值可以是無限多個. 所以前面才有
"加總順序可以改變" 這個 "假設", 如果是有限個可能值,
加總順序當然是可以改變的.

2014-05-15 17:05:01 補充：
回答3說 "發生的機率對X 與 Y而言互相獨立" 這是完全沒根據的,
是觀念上的錯誤.