求x=cos(y/x)對x的導數

問錯問題，你是問用隠函數的微分法求 x = cos(y/x) 之中 y 對 x 的導數。

另外，你的答案好像都有問題？ ^____^



圖片參考：https://s.yimg.com/rk/HA00430218/o/331685067.png


2014-05-15 01:32:28 補充：
謝謝你 myisland8132 , 我錯看了一個 x 。

2014-05-15 01:33:37 補充：
謝謝 myisland8132：

dy/dx = -x csc(y/x) + y/x

由於 x = cos(y/x)，所以

dy/dx = - cos(y/x) csc(y/x) + y/x

dy/dx = - cot(y/x) + y/x

答案正確。

2014-05-15 11:32:29 補充：
匿名網友你好~

關於 隠函數的微分法 (Implicit Differentiation)，你可能誤會了。

隱函數 (Implicit function) 指的意思是指 y 是 x 的函數，但關係不是從 顯函數 (Explicit) 的形式表達出來：

Implicit: x² + xy + y² = 1
Explicit: y = f(x) = x² + cos(x)

由於隱函數未必能容易地把 y 作為主項，所以不能直接求出 dy/dx 。

所以做法是，把一個已知的 x, y 關係，對 x 微分 (Diff. w.r.t. x)

2014-05-15 11:36:00 補充：
當中會得出 dy/dx, 再把它變主項即可。
以上就是 隠函數的微分法 (Implicit Differentiation) 。

至於 你所說的 dy/dx= 1/(dx/dy)，都是一種處理手法，此公式是由 chain rule 建立出來的，請看：
https://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7014050500165

但是，這個方法未必特別有效，除非你很容易可以把 x 寫成主項，那麼你先求 dx/dy，再找 dy/dx 也可。

2014-05-15 11:37:42 補充：
但對於你的題目，你難以寫出 x 為主項，因為 x = cos(y/x) 的右方也有 x 。
要寫出 x = g(y) 右方完全沒有 y 才稱為寫出 x 為主項。

所以無論如何，你都要把全式 對 x (或 y) 微分，再求出所要的導數。
這才是 implicit differentiation 的一般做法。

最後將x用cos(y/x)代入得到原答案