F.4maths指數函數

1.
已知 y = ka^x，其中 a 和 k 為常數，且 a > 0，
當 x = 2，y = 25；當x = 4，y = 6.25。

a) 求 a 和 k 的值。

y = ka^x ⇔ log y = log k + x (log a)

{ 25 = k a² ... [1]
{ 6.25 = k a⁴ ... [2]

[2] ÷ [1]:
a² = 6.25/25 = 0.25
a = 0.5 or -0.5 (捨去)

代入 [1],
25 = k (0.5)²
k = 100

b) 由此，求當 x = 8 時 y 的值。

y = 100 × 0.5^x = 100 / 2^x

當 x = 8 時,
y = 100 / 2⁸ = 0.390625


2. 某細菌在培養皿的數目每 5 小時增加一倍。已知培養皿內原有細菌 10個。

a) 問最少多少小時後細菌的數目會多於80？

快速解法：
開始時： 10 個
剛 5 小時後： 增加一倍至 20 個
剛 10 小時後： 增加一倍至 40 個
剛 15 小時後： 增加一倍至 80 個

因此，過了第 15 小時後，細菌的數目會多於80。

較為正路的一般解法：
設細菌個數 = N, 每小時增長率為 r。

那麼，N = 10 × (1 + r)^t
（當 t = 0, N = 10。）

當 t = 5, N = 20：

20 = 10 × (1 + r)⁵
(1 + r)⁵ = 2
1 + r = 2^(1/5)

所以， N = 10 × 2^(t/5)

要求 N > 80

10 × 2^(t/5) > 80
2^(t/5) > 8
2^(t/5) > 2³
t/5 > 3
t > 15

所以，１５小時後細菌的數目會多於 80 個。


2014-05-14 21:40:40 補充：
多多指教!!!

╭∧---∧╮
│ .✪‿✪ │
╰/) ⋈ (\╯

如果 0.390625 寫做 25/64 係幾咁完美 0.0

終於都看到貓貓回答了!