公正骰子試驗

基本事件(個別 outcome) 機率各 1/6, 總共 2^6 = 64 個事件,
每個基本事件各出現在其中 2^{6-1} = 32 個之中, 因此, 所有
事件機率和是 (1/6)*32*6 = 32.

2^6 個事件的機率分別是
P(φ) = 0
P{1} = P{2} = ... = P{6} = 1/6 (共6個)
P{1,2} = P{1,3} = ... = P{5,6} = 2/6 (共 C(6,2) = 15 個)
P{1,2,3} = ... = P{4,5,6} = 3/6 (共 C(6,3) = 20 個)
P{1,2,3,4} = ... = P{3,4,5,6} = 4/6 (共 C(6,4) = 15個)
P{1,2,3,4,5} = P{2,3,4,5,6} = 5/6 (共 6 個)
P(S) = 1
所以, 所有事件機率和是
0+(1/6)C(6,1)+(2/6)C(6,2)+...+(5/6)C(6,5)+1 = 32.


一般有限樣空, 設各基本事件檮率是 p_1,p_2,...,p_n.
則, 其所有事件機率之和是
0+Σp_i + ΣΣ(p_i+p_j) + ... + 1 = Σ(p_i)*2^{n-1} = 2^{n-1}

所以, 即使骰子不公正, 所有事件之機率和也是 2^{6-1} = 32.

以4面骰為例, 所有事件機率和是
0+(p_1+p_2+p_3+p_4)
+ {(p_1+p_2)+(p_1+p_3)+(p_1+p_4)+(p_2+p_3)+(p_2+p_4)+(p_3+p_4)}
+ {(p_1+p_2+p_3)+(p_1+p_2+p_4)+(p_1+p_3+p_4)+(p_2+p_3+p_4)}
+ 1
= 0 + 1 + 1*3 + 1*3 + 1 = 8 = 2^{4-1}.





2014-05-14 00:48:17 補充：
"所有事件機率和" 或 "某些事件機率和" 是否有什麼意義?


想清楚後發現: 上面的結果實在是很 "無聊"(trivial) 的.


怎麼說呢?

一個事件的機率, 就是該事件發生次數的期望值.
因此, 一些事件機率的和, 就是這些事件發生數的期望值, 也就是說
這些事件可期望有多少個發生.


然而, n 個 outcomes 的有限結果隨機實驗, 每個 outcome 出現在
2^n 個事件中的 2^{n-1} 個. 也就是說, 確定有 2^{n-1} 個事件發生.
因此, 這 2^n 個事件機率的和是 2^{n-1}, 無論各 oucome 的機率如
何設定.

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一切事件應該是指所有的事件吧,
如果是這意思的話,那機率和就不是1了.

每一件事發生的機率都是1/6
(1/6)*6=1

其實也可以這樣想，一切事件代表各種狀況發生都算，所以機率就是1(全部)

也就是母體機率和
那就是1