3道數學題 求詳解

我只懂第一題：x=32；及第三題：可能值之和是94。
所以只可選擇唔答。

2014-05-07 23:09:50 補充：
第二題我計算到的是 409，����知這是否官方的答案？

2014-05-09 14:33:28 補充：
計出467，多了6個，給時間我check check 那����重複了。

2014-05-09 19:25:41 補充：

1) 若7x 除(以) 53 的餘數為12，求x 的最小值。
餘數式用≡, 7x 除以 53 的餘數為12, 即
7x ≡ 12 ⋯⋯⋯⋯ (i)
又53x 除以 53 的餘數必是0, 即
53x ≡ 0 ⋯⋯⋯⋯ (ii)
(ii) - 7*(i) 得
4x ≡ -84 ≡ 22 ⋯⋯ (iii)
2*(iii) - (ii) 得
x = 32

2) 4X4的棋盤中有 16 個小方格, 將其中 4 個方格塗成黑色, 有多少種不同的方法?
將16 個小方格平均分成四份A, B, C, D，每份四格叫1, 2, 3, 4. 即
A1 A2 B1 B2
A3 A4 B3 B4
C1 C2 D1 D2
C3 C4 D3 D4
總數為 16C4 = 1820 種
其中有 4 個為 4 重旋轉對稱 :
(A1, B2, D4, C3), (A2, B4, D3, C1), (A3, B1, D2, C4), (A4, B3, D1, C2).
另外有 12 個為 2 重旋轉對稱：
(A1, B1, D4, C4), (A1, B4, D4, C1), (A1, B3, D4, C2),
(A2, B1, D3, C4), (A2, B2, D3, C3), (A2, B3, D3, C2),
(A3, B2, D2, C3), (A3, B3, D2, C2), (A3, B4, D2, C1),
(A4, B1, D1, C4), (A4, B2, D1, C3), (A2, B4, D1, C1).
所以沒有旋轉對稱的圖形數目有 (1820 - 4 x 4 - 12 x 2) / 4，即 445 種。
總共有 (4 + 12 + 445)，即 461 種。

3) 若正整數n 的所有小於n 的正因數總和是17，求所有n 的可能值之和。
假設此正整數是 ab, 則它小於自己的正因數之和是 (1 + a + b), 所以
1 + a + b = 17
==> a + b = 16
因a, b 都是質數, 所以 (a, b) 是 (3, 13) 及 (5, 11), 即 n 的可能值是 39 及 55。
它們的和是 94。

123

"總數為 16C4 = 1820 個
其中有 4 個為 4 重旋轉對稱
有 12 個為 2 重旋轉對稱"

這幾句像是閣下先寫的，為什麼現在說：

"注意每個四重旋轉對稱的圖形數目在 16C4 中只出現了一次，不是出現了 4 次﹗"

To 80418129:
I think there are some mistakes in Q2
(2)
總數為 16C4 = 1820 個
其中有 4 個為 4 重旋轉對稱
有 12 個為 2 重旋轉對稱
則沒有旋轉對稱的圖形數目 = (1820 - 4 x 4 - 12 x 2) / 4 = 445

所以答案 = 4 + 12 + 445 = 461

2014-05-19 17:19:59 補充：
RE 50418129 :
第二題我用另一個計法都系計到461。
(16C4-2*4-4*4C2)/4+2*4/4+4*4C2/2=461

(1)

題目應是除以

(2)

總數為 16C4 = 1820 個
其中有 4 個為 4 重旋轉對稱
有 12 個為 2 重旋轉對稱
則沒有旋轉對稱的圖形數目 = (255 - 4 x 1 - 12 x 2) / 4 = 448

所以答案 = 4 + 12 + 448 = 464

(3)

稍後答

2014-05-08 11:31:26 補充：
(3)

因數必定有 1，故減去 1 以後，可寫成 a1 + a2 + a3 + ... + an = 16
其中 a1, a2, a3, ..., an 為相異且大於 1 的正整數，n 的最大值為 4。

若 n = 1, 則因數必為 16，若 16 為因數，則 2, 4, 8 皆為因數，故無解。
若 n = 2, 則符合上述要求則只可為 5 + 11。
若 n = 3, 則沒有組合符合上述要求。
若 n = 4, 則沒有組合符合上述要求。

所以只有一個正整數符合要求，該數為 55。

2014-05-08 11:32:41 補充：
(2) 謝謝修正

總數為 16C4 = 1820 個
其中有 4 個為 4 重旋轉對稱
有 12 個為 2 重旋轉對稱
則沒有旋轉對稱的圖形數目 = (1820 - 4 x 1 - 12 x 2) / 4 = 448

所以答案 = 4 + 12 + 448 = 464

2014-05-09 10:24:25 補充：
(3)

若 n = 2, 則符合上述要求則只可為 5 + 11 或 3 + 13。
所以符合題目要求有 55 和 39。

第二條我幫唔到你了，sorry

2014-05-12 11:29:16 補充：
第二題的答案已確定是 464，不是 461。

關鍵在於沒有旋轉對稱的圖形數目。
Denny 與 想當年 的說法：(1820 - 4 x 4 - 12 x 2) / 4 = 445
我的說法： (1820 - 4 x 1 - 12 x 2) / 4 = 448

注意每個四重旋轉對稱的圖形數目在 16C4 中只出現了一次，不是出現了 4 次﹗自行判斷吧。

2014-05-12 11:30:32 補充：
第二題的答案已確定是 464，不是 461 ﹗參考意見欄。

2014-05-13 10:52:09 補充：
RE 大海：
那幾句說話沒有錯。

總數為 16C4 = 1820 個
其中有 4 個為 4 重旋轉對稱，每個出現了 1 次。
有 12 個為 2 重旋轉對稱，每個出現了 2 次。

所以是 1820 - 4 x 1 - 12 x 2
不是 1820 - 4 x 4 - 12 x 2

我想你誤會了我的意思了，我表達不清楚，sorry

2014-05-13 10:56:13 補充：
16C4 = 1820 中只出現了下列四重旋對稱圖形各一次

ＸＯＯＸ　ＯＸＯＯ　ＯＯＸＯ　ＯＯＯＯ
ＯＯＯＯ　ＯＯＯＸ　ＸＯＯＯ　ＯＸＸＯ
ＯＯＯＯ　ＸＯＯＯ　ＯＯＯＸ　ＯＸＸＯ
ＸＯＯＸ　ＯＯＸＯ　ＯＸＯＯ　ＯＯＯＯ

所以減 4 個，不是減 16 個。

2014-05-13 11:15:00 補充：
而下列二重旋轉對稱圖形出現了兩次

ＸＸＯＯ　ＯＯＯＸ　ＸＯＸＯ　ＯＯＯＸ　ＸＯＯＯ　ＯＯＸＸ
ＯＯＯＯ　ＯＯＯＸ　ＯＯＯＯ　ＸＯＯＯ　ＸＯＯＯ　ＯＯＯＯ
ＯＯＯＯ＝ＸＯＯＯ　ＯＯＯＯ＝ＯＯＯＸ　ＯＯＯＸ＝ＯＯＯＯ
ＯＯＸＸ　ＸＯＯＯ　ＯＸＯＸ　ＸＯＯＯ　ＯＯＯＸ　ＸＸＯＯ

ＸＯＯＯ　ＯＯＯＸ　ＸＯＯＯ　ＯＯＯＸ　ＸＯＯＯ　ＯＸＯＸ
ＯＸＯＯ　ＯＯＸＯ　ＯＯＸＯ　ＯＸＯＯ　ＯＯＯＸ　ＯＯＯＯ
ＯＯＸＯ＝ＯＸＯＯ　ＯＸＯＯ＝ＯＯＸＯ　ＸＯＯＯ＝ＯＯＯＯ
ＯＯＯＸ　ＸＯＯＯ　ＯＯＯＸ　ＸＯＯＯ　ＯＯＯＸ　ＸＯＸＯ

2014-05-13 11:15:10 補充：
ＯＸＸＯ　ＯＯＯＯ　ＯＸＯＯ　ＯＯＸＯ　ＯＸＯＯ　ＯＯＯＯ
ＯＯＯＯ　ＸＯＯＸ　ＸＯＯＯ　ＯＯＯＸ　ＯＸＯＯ　ＯＯＸＸ
ＯＯＯＯ＝ＸＯＯＸ　ＯＯＯＸ＝ＸＯＯＯ　ＯＯＸＯ＝ＸＸＯＯ
ＯＸＸＯ　ＯＯＯＯ　ＯＯＸＯ　ＯＸＯＯ　ＯＯＸＯ　ＯＯＯＯ

ＯＸＯＯ　ＯＯＯＯ　ＯＯＸＯ　ＯＯＯＯ　ＯＯＸＯ　ＯＯＯＯ
ＯＯＸＯ　ＯＸＯＸ　ＯＸＯＯ　ＸＯＸＯ　ＯＯＸＯ　ＸＸＯＯ
ＯＸＯＯ＝ＸＯＸＯ　ＯＯＸＯ＝ＯＸＯＸ　ＯＸＯＯ＝ＯＯＸＸ
ＯＯＸＯ　ＯＯＯＯ　ＯＸＯＯ　ＯＯＯＯ　ＯＸＯＯ　ＯＯＯＯ

所以減 24 個

2014-05-13 11:19:48 補充：
餘下圖形就是沒有旋轉對稱圖形了，每個出現了 4 次，所以除以 4。
各位大大看看我有沒有錯，還望指教﹗

2014-05-20 14:09:18 補充：
Denny 大大可以解釋一下嗎？

〔題外話〕

劍鋒，其實你之前匿名問果兩次我都見到你的題目～

但系統最近有少少問題不能顯示帖子於分類版塊～