3個反方陣問題

首先你要明白 "反方陣(反矩陣)" 是什麼意義.

[定義]
A^{-1} 是滿足 AA^{-1} = A^{-1}A = I (單位矩陣) 的矩陣.

[定理]
若 A^{-1} 存在, 則 A^{-1} 是唯一的.

[定理]
若 A 是方陣, 而且存在 B 使 AB = I, 則 B 是 A 的反方陣.



又: 矩陣乘法運算符合 "結合律", 即 (AB)C = A(BC).



1. AX = B, 則 A^{-1}(AX) = A^{-1}B.
但 A^{-1}(AX) = (A^{-1}A)X = IX = X, 所以 X = A^{-1}B.

又: X = A^{-1}B 則可得 AX = A(A^{-1}B) = (AA^{-1})B = IB = B.


2. XA = B, 則 (XA)A^{-1} = BA^{-1}, 則 X = BA^{-1}



3.
(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I,
故 B^{-1}A^{-1} 是 AB 的反方陣, 即 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.

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1.A^-1AX=A^-1B=X

2014-05-02 20:21:16 補充：
2.XAA^-1=BA^-1=X

2014-05-02 20:23:48 補充：
3. AB(AB)^-1=I= ABB^-1A^-1
(AB)^-1=B^-1A^-1