若A,B都有反方陣A^-1與B^-1，
煩請幫忙證明:
1.為何AX=B, 則 X=A^-1B
2.為何XA=B, 則 X=BA^-1
3.為何(AB)^-1=B^-1A^-1
3個反方陣問題
2014-05-03 3:56 am
回答 (12)
2014-05-03 4:24 am
✔ 最佳答案
首先你要明白 "反方陣(反矩陣)" 是什麼意義.[定義]
A^{-1} 是滿足 AA^{-1} = A^{-1}A = I (單位矩陣) 的矩陣.
[定理]
若 A^{-1} 存在, 則 A^{-1} 是唯一的.
[定理]
若 A 是方陣, 而且存在 B 使 AB = I, 則 B 是 A 的反方陣.
又: 矩陣乘法運算符合 "結合律", 即 (AB)C = A(BC).
1. AX = B, 則 A^{-1}(AX) = A^{-1}B.
但 A^{-1}(AX) = (A^{-1}A)X = IX = X, 所以 X = A^{-1}B.
又: X = A^{-1}B 則可得 AX = A(A^{-1}B) = (AA^{-1})B = IB = B.
2. XA = B, 則 (XA)A^{-1} = BA^{-1}, 則 X = BA^{-1}
3.
(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I,
故 B^{-1}A^{-1} 是 AB 的反方陣, 即 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}.
2014-06-21 10:54 pm
2014-06-20 10:13 pm
2014-06-11 3:06 am
2014-05-28 4:19 pm
2014-05-24 1:46 pm
2014-05-20 9:50 pm
>這家不錯*****買幾次啦真的一樣
傀劗剐
傀劗剐
2014-05-10 9:05 pm
2014-05-03 8:49 am
>這家不錯*****買幾次啦真的一樣
厗唖俫丽卓
厗唖俫丽卓
2014-05-03 4:20 am
1.A^-1AX=A^-1B=X
2014-05-02 20:21:16 補充：
2.XAA^-1=BA^-1=X
2014-05-02 20:23:48 補充：
3. AB(AB)^-1=I= ABB^-1A^-1
(AB)^-1=B^-1A^-1
2014-05-02 20:21:16 補充：
2.XAA^-1=BA^-1=X
2014-05-02 20:23:48 補充：
3. AB(AB)^-1=I= ABB^-1A^-1
(AB)^-1=B^-1A^-1
收錄日期: 2021-05-04 01:58:43
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