國中數學2題

1.
因N, C, B, P 共圓, CP 為直徑,
∴∠CNP = 90°, ∠CND + ∠PNA = 90°
又∠CND + ∠NCD = 90° 故 ∠NCD = ∠PNA
CN = PN, 得ΔCDN ≡ΔANP (AAS)
令 AP = X, BP = Y, 則DN = X, AN = CD = X + Y, AD = 2X + Y
四邊形CNPB面積 = 長方形ABCD面積 - ΔCDN面積 -ΔANP面積
= (X+Y)(2X+Y) - X(X+Y)/2 - X(X+Y)/2 = (X+Y)^2 = 7
∴AB = CD = X+Y = √7

2.
連CF交AB於M, 連CG交 DE於N, 則M、N分別為ΔABC、ΔCDE之外心,
故 CM= AM= 6, CN = DN = 6,
得 CF = CG = 6X2/3 = 4

因∠1 = ∠2, ∠ACB = ∠ECD = 90° , AB = DE, ∴ΔACB≡ΔDCE (AAS)
得BC = EC, 故 ΔBCM≡ΔECN, 且 ΔACM≡ΔDCN (SSS)
∠BCM = ∠ECN 且∠ACM = ∠DCN
故∠ACM + ∠ECN = 90°, 即ΔFCG為等腰直角Δ
∴FG = 4√2

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(2) ΔABC≡ΔCDEBC=CE=x, AC=CD=y令B=(0,0), C=(x,0), A=(x,y), D=(x+y,0), E=(x,x)F=ΔABC重心={A+B+C}/3={(x,y)+(0,0)+(x,0)}/3=(2x/3,y/3)G=ΔCDE重心={D+E+C}/3={(x+y,0)+(x,x)+(x,0)}/3=(x+y/3,x/3)GF^2={(x+y/3-2x/3)^2+[(x-y)/3]^2}=(x+y)^2/9+(x-y)^2/9=2(x^2+y^2)/9=2*12^2/9GF=(12/3)*√2=4√2......ans

2014-04-22 14:24:42 補充：
(1) CNPB=共圓 => CP=直徑, ∠CNP=∠B=90(deg)

令C=(0,0), B=(a,0), P=(a,b), M=(a/2,b/2)

R=半徑

=P-M

=√[(a/2)^2+(b/2)^2]

=√(a^2+b^2)/2

=NM

=MP

=MC

=> CN=R√2......(1)

CNPB=ΔCNP+ΔPBC

7=R^2+ab/2

2014-04-22 14:25:07 補充：
=(a^2+b^2)/4+ab/2

28=(a^2+b^2)+2ab=(a+b)^2

a+b=2√7........(2)

中垂線MN為: x^2+y^2=(x-a)^2+(y-b)^2

=> ax+by=(a^2+b^2)/2=2R^2

令D=(0,CD)=(0,AB)=(0,h),則

Nx=(2R^2-bh)/a, Ny=h

由Eq.(1):

CN^2=2R^2

=Nx^2+Ny^2

=(2R^2-bh)^2/a^2+h^2

2a^2*R^2=(2R^2-bh)^2+a^2*h^2

2014-04-22 14:25:30 補充：
=4R^4-4bhR^2+b^2*h^2+a^2*h^2

=4R^4-4bhR^2+4h^2(a^2+b^2)/4

=4R^4-4bhR^2+4h^2*R^2

2a^2=4R^2-4bh+4h^2

=a^2+b^2-4bh+4h^2

a^2=(2h-b)^2

2h-b=a

h=(a+b)/2

=2√7/2.......由Eq.(2)

=√7......ans