進階角度問題 (1)

你怎算出來??
我也計到這個, 不過用了好多時間
你有簡單的方法嗎?

2014-04-20 14:02:09 補充：
∠ACB = ∠MCB + ∠MCA
106∘= ∠MCB + 23∘ (∘ = 度)
∠MCB = 83∘

設∠MBC = x
∠BMC + ∠MCB + ∠MBC = 180∘(三角形內角和)
∠BMC + 83∘+ x = 180∘
∠BMC = 97∘- x

∠AMC + ∠MAC + ∠MCA = 180∘(三角形內角和)
∠AMC + 7∘+ 23∘= 180∘
∠AMC = 150∘

考慮△ACM,
CM / sin7∘= AC / sin150∘----------(1)

考慮△BCM,
CM / sin x = BC / sin(97∘- x)
CM / sin x = AC / sin(97∘- x)-------(2)

(1) / (2): sin x / sin7∘= sin(97∘- x) / sin150∘
sin x / sin7∘- sin(97∘- x) / sin150∘= 0

因為不會解這個複雜的方程 所以用了非常麻煩的方法,
以下方法不建議使用, 因為我只想計到答案

設y = sin x / sin7∘- sin(97∘- x) / sin150∘
dy / dx = cos x / sin7∘+ cos(97∘- x) / sin150∘

[0 - y(x)] / (x ' - x) = dy/dx| x = x
- y(x) = (dy/dx| x = x)(x ' - x)
- y(x) = (dy/dx| x = x)(x ' ) - (dy/dx| x = x)(x)
(dy/dx| x = x)(x) - y(x) = (dy/dx| x = x)(x ' )
x - [ y(x) / (dy/dx| x = x) ] = x '
x ' = x - [ y(x) / (dy/dx| x = x) ]

怎用?
x ' = x – [sin x / sin7∘- sin(97∘- x) / sin150∘] / [cos x / sin7∘+ cos(97∘- x) / sin150∘]
取x=10∘,
x ' = 10∘- [sin 10∘/ sin7∘- sin(97∘- 10∘) / sin150∘] / [cos 10∘/ sin7∘+ cos(97∘- 10∘) / sin150∘]
x ' = 10.06992681∘
然後用x = 10.06992681∘, 計算新的x '
x ' = 10.06992681∘- [sin 10.06992681∘/ sin7∘- sin(97∘- 10.06992681∘) / sin150∘] / [cos 10.06992681∘/ sin7∘+ cos(97∘- 10.06992681∘) / sin150∘]
不斷重複直到數字沒有太大改變
x ' = 14∘

∠MCB + ∠MBC = 83∘+ 14∘= 97∘

2014-04-20 14:04:28 補充：
(1) 和 (2) 用了正弦定理

2014-04-20 14:53:04 補充：
https://onedrive.live.com/redir?resid=A3980BFF0EA16013!204&authkey=!AO3NaVS_pE3PVxo&v=3&ithint=photo%2c.png

2014-04-20 15:25:56 補充：
YA HOO ! 知識+管理員,
原來要用cosine law, 你的方法簡單好多

2014-04-20 15:53:00 補充：
但對於中學生來說有點難,
但你的方法對於會用SINE LAW 和COSINE LAW的學生能夠掌握

2014-04-20 15:54:03 補充：
而且我的答案會有誤差

2014-04-20 16:51:04 補充：
YA HOO ! 知識+管理員,
我唔記得1 / sin150° = 2 (=.=")
sin x / sin7° - sin (97°- x) / sin150°= 0, 解呢個方程原來咁簡單

2014-04-20 18:21:09 補充：
不過在考試的時候, YA HOO ! 知識+管理員的方法(意思的第14個)會比較易想,
而想當年的方法就要熟識全等三角形才想到

第15個意思那個方法(by 想當年), 有少少問題
Inside the ΔACM, construct a point M' such that ...
ΔACM 應該係 ΔBCM

在選我最佳解答之前,
一個青檸 麻煩在意見加上""更好的方法請參考意見欄"
當看到大家的方法就覺得自己之前想的方法太差了

2014-04-20 18:32:08 補充：
謝謝...
多謝大家的解答, 都學到不少

YAHOO!知識+管理員，請問今年DSE Maths (Core) 題目深定淺？

2014-04-20 16:36:25 補充：
Thanks.

Inside the ΔACM, construct a point M' such that
ΔACM is congruent to ΔBCM'.
It is easy to find that ΔCMM' is an equilateral triangle.
Try to prove ΔBCM' and ΔBMM' are also congruent (SAS),
so ∠MCB = 60 + 23 = 87, ∠MBC = 7 + 7 = 14

加油！M2 考個5**！

2014-04-20 16:55:26 補充：
Sorry, 60 + 23 = 83 (寫錯 87)

2014-04-20 18:23:00 補充：
雖然繁複，但也可找出正確的答案，是值得鼓勵的。

"Tony" & "YAHOO ! 知識+管理員", 努力！加油！

2014-04-20 18:28:16 補充：
謝謝 Tony, 是的, 原來我打錯兩處.

是 "Inside the ΔABC, ...", 不是 ACM.

(看來我也要檢討如何在 I-pad 上打字。)

show your steps!

2014-04-20 17:31:43 補充：
014 樓既解答可算是精簡，015的更是我心中所想。

大家都有一顆找出答案的心，因此才有不同的解題方法。如無異議，小弟就選 Tony 為最佳解答。

∠MCB+∠MBC=97° ?

2014-04-20 14:42:16 補充：
其實我的方法與你的方法差不多
我是用了 sin law 及 cos law

2014-04-20 14:46:20 補充：
Let AC=x
AC=BC=x

By cosine law,
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 (AC) (BC) cos ∠ACB
AB^2 = 2 x^2 - 2 x^2 cos 106°
AB = [√( 2 - 2 cos 106° )] x

∠CMA=180°-∠MAC-∠MCA=180°-7°-23°=150°
∠MCA=23°

By sine law,
MA / sin ∠MCA = AC / ∠CMA
MA = x sin 23° / sin 150°

2014-04-20 14:46:33 補充：
∠BAC=(180°-∠ACB)/2=37°
∠MAC=7°
∠MAB=∠BAC-∠MAC=37°-7°=30°

By cosine law,
MB^2 = MA^2 + AB^2 - 2 (MB) (MA) cos ∠MAB
MB^2 = ( x sin 23° / sin 150° )^2 + [x √( 2 - 2 cos 106° )]^2 - 2 ( x sin 23° / sin 150° ) [x √( 2 - 2 cos 106° )] cos 30°
MB = x

2014-04-20 14:46:47 補充：
By sine law,
MA / sin ∠MBA = MB / sin ∠MAB
x sin 23° / ( sin 150° sin ∠MBA ) = x / sin 30°
sin ∠MBA = sin 23°
∠MBA = 23°

∠MCB=∠ACB-∠MCA=106°-23°=83°

∠BAC=37°
∠ABC=∠BAC=37°
∠MBC=∠ABC-∠MBA=37°-23°=14°

∴∠MCB+∠MBC=83°+14°=97°

2014-04-20 15:05:00 補充：
原來你有用 dy/dx ....

I like your answer =]

2014-04-20 15:43:24 補充：
Re：想當年

對我來說，不能說是難或易
只可以說是一般

若與上年作為比較
這年的題目好像比上年的題目難一些

不過這只是我的看法 0.0

Re：Tony

But I think you answer is more professional !!

2014-04-20 16:30:52 補充：
btw,
岩岩先諗到

sin x / sin7° - sin (97°- x) / sin150°= 0
sin x / sin7° - 2 sin (97°- x) = 0
sin x - 2 sin 7° sin (97°-x) = 0
sin x + [ cos (7°+97°-x) - cos ( 7°-97°+x ) = 0
sin x + cos (104°-x) - cos [ -(90°-x) ] = 0
sin x - sin x + cos (104°-x) = 0
104°-x=90°
x=14°

2014-04-20 17:17:36 補充：
想當年

謝謝你 ^.^

估唔到你嘅方法更為簡單 =]


Tony

我不太明白你答案裏的 x 及 x' 是代表， 是在 dy/dx 下面哥幾行

x 及 x' 是可以移動的嗎?

可唔可以說一說??

謝謝