國中數學：圓球體魚缺體積計算

被截魚缸 = 半球 + 球臺
底半徑為 r , 高為 a 之球臺體積可用以下立體模擬 :


圖片參考：https://s.yimg.com/lo/api/res/1.2/i9zUnASqjAzG5qAsZC8tFA--/YXBwaWQ9dHdhbnN3ZXJzO3E9ODU-/https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTKaJIizYGdxi-ribAOKW2zpZ88hASFwCF86_y7UKzSmZPO4yvzGA

從底半徑為 r , 高為 r 之圓柱挖去一個頂半徑為 r , 高為 r 之倒立圓錐, 並從距離底面之上 a 處平截去上半部所餘之立體 , 記此立體為 V。

證明 :
底半徑為 r , 高為 a 之球臺頂面積 = π√(r² - a²)² = π(r² - a²) .... 左圖紅色部分
V 之頂面積 = πr² - πa² = π(r² - a²) .... 右圖紅色部分
故此 , 底半徑為 r , 高為 a 之球臺之任一高處平截面積 = V 之任一高處平截面積 ,
而且該兩立體同高 , 因此該兩立體體積相同(祖暅原理)。

∴ 底半徑為 r , 高為 a 之球臺體積 =
V = πr²a - (1/3) πa² a = πa (r² - a²/3)

取 a = h , 被截魚缸體積
= (2/3)πr² + πh(r² - h²/3)
= (2/3)πr² + πh(3r² - h²)/3
= π(2r² + 3hr² - h³)/3

祖暅原理 :
所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體 , 其體積也必然相等。

2014-04-19 23:51:56 補充：
這已是我所知的最簡單方法了,除了把水灌下去...

2014-04-23 19:29:21 補充：
修正 :

被截魚缸體積
= (2/3)πr³ + πh(r² - h²/3)
= (2/3)πr³ + πh(3r² - h²)/3
= π(2r³ + 3hr² - h³)/3

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然而『祖暅原理』（Cavalieri’s principle）並非國中數學課程的內容吧！有更簡單的方法嗎？
[意見]
不問概念本身是否國中生可以不可以接受，
卻計較是不是國中數學課程的內容，本末倒置，真是可笑呀啊!

『祖暅原理』（Cavalieri’s principle）是一個要發現不容易，但一看到，專業與否，人人都懂的原理，這是這個原理偉大之處。就像莫札特的音樂，要創作，非常人所能。但一聽人人都懂得是上乘的音樂，這是莫札特之所以為莫札特的原因。

2014-04-19 13:17:22 補充：
我不知道是否有比『祖暅原理』（Cavalieri’s principle）來解決這個問題更簡單的的方法?但是對國中生而言，這是一個適當、有效的上乘方法則無疑義。

感謝 雨後晴空☀ ( 知識長 )提供這個做法。

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然而『祖暅原理』（Cavalieri’s principle）並非國中數學課程的內容吧！有更簡單的方法嗎？

2014-04-19 09:34:57 補充：
To 意見者： JNPKOGWRYUGK，呸！胡說八道的廣告！