✔ 最佳答案
若某工廠所產生的磁磚 平均重量 1.74公斤 標準差0.03公斤
(1) 若隨機抽取50塊此工廠所產生的磁磚，請問樣本平均數的期望值與變異數為多少
???
樣本平均數 Xbar 的抽樣分布(分配)具有與群體(母體)分布相同的期望值:
E[Xbar] = E[X] = 1.74(公斤)
而其標準差 σ(Xbar) 與群體標準差 σ 的關係是
σ(Xbar) = σ/√n = 0.03/√50 ≒ 0.004(公斤)
(註: 按數值計算本是大約 0.00424, 但群體標準差只取一位有效數字,
而它不可能是完全精確的, 也就是說其實際值是 0.025 至 0.035 之間,
所以結果也只能取一位有效數字.)
變異數是標準差的平方, 所以
Var(Xbar) = σ^2/n = 0.0009/50 ≒ 0.00002
(註: 如果你們老師不是真懂統計的人, 可能會認為正確答案是 0.000018.
然而, 正如上面說的, σ 的值可能是 0.025 至 0.035 之間的某數, 簡化成
0.03. 也就是說, σ^2 的正確值在 0.000625 至 0.001225 之間, 從而可知
Var(Xbar) 的值在 0.0000125 至 0.0000245 之間, 連一位有效數字都不
能保證正確!)
(2) 若隨機抽取50塊此工廠所產生的磁磚，請問這50塊磁磚的平均重量超過1.745公斤的機率???
正確答案視 σ(Xbar) 取了幾位小數而定. 反正笠法如下述, 至於答案如何,
就不是我想理會的事了!
令 Z = (Xbar - E[Xbar])/σ(Xbar), 則在適當條件下, Z 的分布接近標準常態
分布. 也就是說:
P[Xbar > 1.745] = P[Z > (1.745-1.74)/0.004] = P[Z > 1.125]
= 1 - P[Z≦1.125] = 1 - 0.8697 = 0.1303
查標準常態機率表可得 P[Z≦1.12] = 0.868643 及 P[Z≦1.13] = 0.870762,
直線插補可得 P[Z≦1.125] 值大約如上.
假設某學校有40%的學生會選修統計學，若任意選取200個學生有75個到100個學生選修統計學的機率為何??
正確值是計算二項分布機率
P[75≦X≦100] = Σ_{k=75 to 100] C(200,k)(0.4)^k(1-0.4)^{200-k}
但這裡可引用常態近似
P[75≦X≦100] = P[74.5 < X < 100.5]
= P[(74.5-mean)/(sd) < Z < (100.5-mean)/(sd)]
其中第一步是 "連續化校正", 把離散型的二項分布用連續型的常態分布
近似時, 每個整數 k 連續化後當成是 k-0.5 至 k+0.5 這樣的小區間.
又 mean 是 X 的期望值, 筏於 200*0.4 = 80; sd 是 X 的標準差,
sd = √[np(1-p)] = √(200*0.4*0.6) = √48 = 6.9282.
所以所求機率是
P[75≦X≦100] ≒ P[-0.794 < Z < 2.959] = 0.998456 - 0.213639
= 0.78482
2014-04-12 18:22:26 補充：
用二項分布計算出的機率值是 0.784121
所以如果書上答案是 0.5801, 那是錯的.
