微積分體積計算

E為空間中在第一象限由曲面z=1-x^2, y=1-x, z=0、x=0, y=0平面所圍之立體,求E之體積。Ans:上下限: z(0)=1-0=1, z(1)=1-1=0
dV=dy*dx*dzV=∫<0~1>{∫<0~√(1-z)>[∫<0~(1-x)>dy]*dx}*dz=∫<0~1>{∫<0~√(1-z)>(1-x)*dx}*dz=∫<0~1>(x-x^2/2)dz......0~√(1-z)=∫<0~1>[√(1-z)-(1-z)/2]dz=∫<0~1>[(1-z)/2-√(1-z)]*d(1-z)=(1-z)^2/4-1.5*(1-z)^1.5......<0~1>=0-0-1/4+1.5=5/4......ans

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首先平面座標才會講象限
空間座標我們只講第一卦限(即x>0,y>0,z>0的區域)
求體積就是對1(即1立方單位)做三重積分
題目有說xy平面、yz平面與zx平面
故x,y,z的下限皆為0
曲面z=1-x^2,平面y=1-x與x軸交點的x座標為1
因此x是從0積到1
計算過程如下:

圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AC05386450/o/296210883.png


不了解的話 可以從x,y,z皆為常數的平面先觀察

2014-04-04 21:02:16 補充：
樓上的:
=∫<0~1>[(1-z)/2-√(1-z)]*d(1-z)
=(1-z)^2/4-(1.5)^(-1)(1-z)^(1.5)......<0~1>
=0-0-1/4+2/3=5/12
過程有錯ㄡ