高三數學極限問題

1.設袋中有10元硬幣2枚、5元硬幣4枚、1元硬幣4枚，自袋中任取2枚，則期望值為____元。


(10*2+5*4+1*4)/10 = 4.4 = 取一枚之期望值
故: 取2枚之期望值 = 4.4*2 = 8.8元

"一次取二枚" 的效果和 "一次取一枚, 取出後不放回, 取二次"
是等效的. 而後者可以令第 1, 2 次取出的分別是 X, Y.
則上面第一式算的就是 E[X] = E[Y] 的值; 而第二式是
E[X+Y] = E[X] + E[Y].



當然, 把所有可能組合及其機率算出, 再計算期望值, 這也可以,
只是較複雜.



2.甲乙兩人對局遊戲，兩人獲勝的機率相等且比賽均不得有和局，誰先勝三局可得560元，進行了兩局後均為甲勝，但遊戲因故中止，則乙應分得____元。


事實上這題目好像不是唯一解, 是 paradox 之一? (記憶或許有誤, 聊供參考.)


如果遊戲繼續下去, 甲勝的機率是多少?

只要在未來3局內甲有一勝, 則最終是 甲勝; 如乙連三勝, 則乙勝.

所以, 甲勝的機率是 1-(1/2)^3 = 7/8; 乙勝機率是 1/8.

按勝負機率分配, 也就是按期望值分配, 則
甲分得 560*(7/8) = 490元; 乙分得 560*(1/8) = 70元.



3.某人打靶的命中率為1/4，此人朝同一目標射擊5次，則靶面最多命中2次的機率為______。


二項機率: p(k) = C(5,k)(1/4)^k(3/4)^{5-k}
p(0) = 243/1024
p(1) = 405/1024
p(2) = 270/1024
p(3) = 90/1024
p(4) = 15/1024
p(5) = 1/1024
所問 = p(0)+p(1)+p(2) = 918/1024.



4.已知本校1000位高二同學的數學科第二次段考成績呈常態分配，算術平均數為50分，標準差為10分，則大約有多少同學成績介於40到70分之間?


a = (40-50)/10 = -1
b = (70-50)/10 = 2
令 Z 是標準常態變量, P[-1 < Z < 2] = 0.7786
1000*0.7786 ≒ 779
所以大約有 779人分數在 40 至 70 之間.

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第三題跟第四題算錯了欸
可以麻煩重算一次嘛?