幫我檢查一下積分是哪部分出錯

2014-03-29 10:12 pm
題目: ∫ dx /(1 + x^4) 範圍是(0~infinit)

我的解法:
let x = (tanθ)^(1/2) ,then dx= (sec^2 θ) / [2(tanθ)^(1/2)]
,and cos^2 θ=1 /(1 + x^4)

則 ∫ dx /(1 + x^4) (0~infinit)
=∫ [(cotθ)^(1/2)]dθ/2 (0~pi/2)
=(1/4) * 2 ∫ [(sinθ)^(-1/2)][(cosθ)^(1/2)] dθ (0~pi/2)
=(1/4) * β(1/4,3/4)
=(1/4) * [Γ(1/4)Γ(3/4)]/Γ(1)

這裡使用一個Corollary,並已知Γ(1/2)=pi^(1/2)
Γ(x)=[2^(x-1)]*Γ(x/2)Γ((x+1)/2) / pi^(1/2)
=>Γ(1/2)=(2pi)^(-1/2) *Γ(1/4)Γ(3/4)
=>Γ(1/4)Γ(3/4) =2^(1/2) * pi

(1/4) * [Γ(1/4)Γ(3/4)]/Γ(1)
=(1/4)*2^(1/2) * pi
=(√2 *pi)/4


可是答案是(√2 *pi)/8
更新1:

β()指的是beta函數 其他看不懂的歡迎發問

更新2:

非常感謝兩位大大 自由自在大師的第一個解法太強大了 非常佩服

回答 (4)

2014-03-29 11:41 pm
✔ 最佳答案
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

圖片參考:https://s.yimg.com/rk/HA05107138/o/633913485.png
2014-05-30 5:25 pm
參考下面的網址看看

http://phi008780520.pixnet.net/blog
2014-03-30 10:40 pm
下面的網址能回答你的問題

▶▶http://*****
2014-03-30 1:31 pm
Tomoya Mikami,應該是提供給你的答案 ((√2 * π)/8) 錯誤了,可看:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%20from%200%20to%20infinity%20dx%20%2F(1%20%2B%20x%5E4)&t=crmtb01


謝謝 自由自在 提供兩個解法~


收錄日期: 2021-04-23 23:25:46
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20140329000016KK02951

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