這題要如何計算？

看看這樣對否:

(4n - 11)/(n² - 6n + 8) = (4n - 11)/[(n - 2)(n - 4)] 是整數

故 (n - 2) | (4n - 11), 又 (n - 2) | (n - 2)

故 (n - 2) | 4(n - 2) - (4n - 11)

即 (n - 2) | 3

依以上，(n - 2) 的可能值: 3, 1, -1, -3

題目問 n 的最大值，就從最大的開始檢驗:

n - 2 = 3， 即 n = 5，合，即為所求。

2014-03-27 09:35:03 補充：
To 版大:

關鍵在"邏輯"。

意見3中，解至 (n - 2) | 3 這個步驟，是為 n 之"必要條件"。而其逆是否為真，則待定。

也就是符合題意之 n, 必使 (n - 2) | 3, 但反之是否成立，則待驗證。

很顯然地，推理至上述步驟時，並非題目之"充要條件":仍有條件未用上，故當然可能(但不必然)出現不合所求者。因此文中提"依以上"，意謂"依上述題目部份條件"，找到 n 的"可能"值。而後續的"代入驗證"在邏輯上是必要的。

2014-03-27 09:36:21 補充：
(承上)

用 (n - 4) | (4n - 11) 得 (n - 4) | 5 當然亦可 (一樣得到 n 的"可能"值)。之後從最大者驗證，n = 9(不合)， n = 5(合)，答案一樣。

有點像辦案時，依部分線索找到嫌疑人，再一一求證。除非線索是"充要條件"(如指紋)，否則驗證是必要的。

2014-03-27 09:49:50 補充：
(承上)

一個可能的誤解: 把 (n - 2) | 3 與 (n - 4) | 5 交集，最大者為 n = 5 即答案。事實上兩者交集亦只是"必要條件"， n = 5 仍需代入驗證。不過從"兩者交集"，亦知 n = 9 是不合的。如果題目設計成"候選數很多或值很大，使驗證較難"，這時先取交集，再驗證，或許效率較好。

另提醒:

即使題目條件都用到了，得到的答案也不必然合所求，重點是推理過程是否為"充要條件"。

2014-03-27 10:37:54 補充：
(承上)

本題把 (n - 2) | 3 與 (n - 4) | 5 交集，得到 n = 5,3,-1 "正好"是所有合題意的 n 值，為什麼呢?

由於符合 (n - 2) | 3 與 (n - 4) | 5 時，(n - 2) 與 (n - 4) 必互質，這使得 "(4n - 11)/[(n - 2)(n - 4)] 是整數" 與 "(n - 2) | (4n - 11) 且 (n - 4) | (4n - 11)"成了充要條件，從而交集必合所求。如果思慮至此，則本題取交集為答案亦合理。

若題目數據更改，取交集就不一定成立了。

2014-03-27 13:04:09 補充：
我想"意見003"的解法應該是嚴謹完備的，並不依賴於"題目數字的巧合"。

"意見010"之後，"取交集"云云，只是想說明:看似題目條件都用上時，也不必然是答案。本題"剛好"可以，是數字的"配合"。

2014-03-27 13:06:55 補充：
(承上)

舉例: 若本題改為: (3n - 14)/(n² - 6n + 8) = (3n - 14)/[(n - 2)(n - 4)]

則 (n - 2) | (3n - 14) 與 (n - 4) | (3n - 14) 交集，為 n = 6 或 3，但 n = 6 不合 (答案為 n = 3)。

與原題差異何在? 因為這個新題目中，(n - 2) 與 (n - 4) 不必然互質，從而 "(3n - 14)/[(n - 2)(n - 4)] 是整數" 與 "(n - 2) | (3n - 14) 且 (n - 4) | (3n - 14)"不再是充要條件。

2014-03-27 13:08:40 補充：
(承上)

至於其它專家的高見，囿於個人能力不足，不敢妄論，祈請 海涵。

2014-03-28 22:03:26 補充：
(4n - 11)/(n² - 6n + 8) = (4n - 11)/[(n - 2)(n - 4)] 是整數

故 (n - 2) | (4n - 11), 又 (n - 2) | (n - 2)

故 (n - 2) | 4(n - 2) - (4n - 11)

即 (n - 2) | 3

依以上，(n - 2) 的可能值: 3, 1, -1, -3

題目問 n 的最大值，就從 n 最大的可能值依次檢驗:

n - 2 = 3， 即 n = 5，合，即為所求。

參考下面的網址看看

http://phi008780520.pixnet.net/blog

(4n-11)/(n^2-6n+8) 是整數, 即 4n-11 可被 n^2-6n+8 =(n-2)(n-4) 整除.

當然由此可推論出 n-2 及 n-4 都可整除 4n-11, 從而可化簡為
n-2 整除 3 及 n-4 整除 5.

這樣的方式確實比我原來回答的解法簡單.

當然, n-2 整除 3, n-4 整除 5 都只是必要條件, 即使取兩者交集,
也就是兩條件同時要求成立, 也只是必要條件而非充分條件. 不
過, 既然已將可能解限制在很少數, 這也就夠了.


既然是好的解法, 建議放到回答區吧!

2014-03-27 17:12:57 補充：
好的解法應放到回答區, 較繁瑣的解法放意見聊供參考.



(4n-11)/(n^2-6n+8) 是整數, 即 4n-11 可被 n^2-6n+8 =(n-2)(n-4) 整除.
因 4n-11 是奇數, 故 n-2, n-4 也是奇數, 所以 n 是奇數.

取 n=2k+3, 則 4n-11 = 8k+1, n^2-6n+8 = 4k^2-1.
依假設, 8k+1 可被 4k^2-1 整除.

若 k > 0, 8k+1 可被 4k^2-1 整除則 8k+1≧4k^2-1, 即
4(k-1)^2≦6, 可能值是 k=1 或 2. k=2 代入不符, k=1 可.

2014-03-27 17:13:14 補充：
若 k<0, 則 -(8k+1)≧4k^2-1, 即 4k(k+2)≦0, 可能值 k=-1,-2.
k=-2 可, k=-1 不符.


因此, 符合條件的所有 k 的可能值是 k = -2, 0, 1, 即
n = -1, 3, 5.

n = -1 則 4n-11 = -15, n^2-6n+8 = 15;
n = 3 則 4n-11 = 1, n^2-6n+8 = -1;
n = 5 則 4n-11 = 9, n^2-6n+8 = 3.

最大的 n 值是 5.

To cefpirome :

為何不作 (n - 4) | (4n - 11)
(n - 4) | 4(n - 4) + 5
(n - 4) | 5
即 (n - 4) 的可能值是：-1, 3, 5, 9
所以 n 最大值是 9？

2014-03-27 11:32:34 補充：
謝謝指點，得益不小。

"若題目數據更改，取交集就不一定成立了。"
意思是以上的推理剛好符合此題？

"老怪物" 與 "你邊位" 的解說是否也只剛好符合此題，
定兩位大大的都可以是正解？

2014-03-28 14:08:18 補充：
為甚麼好的方法大部份都在 "意見欄" ?

請移去回答區吧。

(4n - 11)/(n^2 - 6n + 8)

=[4(n-1)+5]/(n-4)(n-2)

=[4/(n-2)]+[5/((n-4)(n-2))]

當n=2 ==>分母為0無意義

當 n=4 ==>分母為0無意義

當n=5 ==>原式=(4/3)+(5/3)=3 整數合條件

所以n最大值為5

n 的最大值是∞ ..