n邊形最多可以有幾個直角?

任意 n 邊形的內角和是 (n-2)π, 相當於 2(n-2) 個直角.

任意 n 邊形的每個角 < 2π, 即小於 4 個直角.

任意凸 n 邊形每個角 < π, 即小於 2 個直角.

所以, 假設有 k 個直角, 需考慮這 "直角" 是 π/2 或 3π/2.
例如 凸 這個8邊形可以認為 8 個角都是 "直角", 其中 6個
是 π/2, 兩個是 3π/2. 以此例可以猜測不限制為 "凸 n 邊形"
的話, 直角數最大幾乎可以等於 n (n 是偶數大概就可以, n
是奇數的話大概是 n-1.)

2014-03-26 13:36:38 補充：
對凸 n 邊形來說, 假設 k 個直角, 其他 (n-k) 個角平均是 t 個直角,
k + t(n-k) = 2(n-2). 故 t = (2n-4-k)/(n-k). t 必須小於等於 2, 若 k < n
則 t < 2. 因此得 k 最大是 4 (矩形), 而 n > 5 時 k 最大是 3.

2014-03-26 13:37:45 補充：
"n > 5 時 k 最大是 3." 應更正為 n > 4 時...

2014-03-26 22:47:59 補充：
任意 n 邊形的內角和是 (n-2)π, 相當於 2(n-2) 個直角.所以三邊形(三角形)最多只能有一個直角.
任意 n 邊形的每個角 < 2π, 即小於 4 個直角.任意凸 n 邊形每個角 < π, 即小於 2 個直角.
所以, 假設有 k 個直角, 需考慮這 "直角" 是 π/2 或 3π/2.
例如 凸 這個8邊形可以認為 8 個角都是 "直角", 其中 6個
是 π/2, 兩個是 3π/2. 假設 n 邊形可以都是直角, 其中 p 個是 π/2, n-p 個是 3π/2,
則 p+3(n-p) = 2(n-2), 則 p=(n+4)/2. 只有 n 是偶數才可能,
此時有 (n/2)+2 個 π/2 的角, (n/2)-2 個 3π/2 的角.當 n 是奇數時, 設有 p 個 π/2 的直角, 有 q 個 3π/2 的直角.
非直角至少是2個, 即 p+q≦n-2. 則 n-p-q 個非直角的平均大小,
以 π/2 為單位, 是
t = (2n-4-p-3q)/(n-p-q) = 2+(p-q-4)/(n-p-q).
取 p=(n+1)/2, q=(n-5)/2, 則2個非直角共分 3π/2.
也就是說, n 是奇數時, 最多可以有 n-2 個直角.如 "直角" 僅限於 π/2 的, 而不含 3π/2 這種的, 那麼, 假設
有 k 個這種直角, 其餘 n-k 個角的平均大小是
t = 2+(k-4)/(n-k).
t 必須大於 0 小於 4, 因此在 k < n 的條件下得
k < min{2n-4, (2n+4)/3}
k=n 的情形只有 n=4 一種. 此外任意 n 邊形 π/2 形的直角數
k < min{n,2n-4,(2n+4)/3}又, 若 k=n-1, 則 t = 2+(k-4)/(n-k) = n-3 個 π/2, 僅當 n = 6 時
允許.n = 3 時得 k < 2, 即 k 最大是 1; n = 5 時 k < 14/3, 似乎可以有 4個 π/2 形的直角. 但如此一來
剩下一個角是 π, 不可. 所以5邊形最多只能有3個角是 π/2. n > 5 時 k < (2n+4)/3, 也就是說 k 的最大值是小於 (2n+4)/3 的
最大整數. 如 n=6 時最多 5 個角是 π/2, 另一個角是 3π/2.
n=7 時 k < 6, 所以最多也只能 5 個角是 π/2.
對凸 n 邊形來說, 假設 k 個直角, 其他 (n-k) 個角平均大小是
t 個 π/2, 則 k + t(n-k) = 2(n-2). 故 n > k 時得
t = (2n-4-k)/(n-k) = 2+(k-4)/(n-k).
t 必須小於等於 2, 若 k < n 則 t < 2.
因此得 k 最大是 4 (矩形), 而 n > 4 時 k 最大是 3.


2014-03-27 17:25:29 補充：
說明一下不限制為凸n邊形時, 為何直角數最多 n-2 而非 n-1?

因為 n 邊形的 "內角" 和是 2(n-2) 倍的π/2. 注意 2(n-2) 是個正整數.
p 個 π/2 及 q 個 3π/2 合計是 p+3q 倍的 π/2. 因此剩下 n-p-q 個角
的和是 π/2 的整數倍. 若 n-p-q = 1, 表示另外那個角是 π/2 的整數
倍, 但這不是違反 "不是直角" 的假設就是它是 π 的倍數, 所以不是
一個 "角". 但前面已說了, 只有 n 是偶數才可能取 p+q=n. 因此, 在
n 是奇數的情形只能 p+q < n-1, 即 p+q 最大是 n-2.

2014-03-31 09:06:21 補充：
才發現上面的 "補充" 第一段遺漏了 "n 是奇數時".

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4個(正方形)





應該沒錯吧~~~~~~~~?

謝謝 阿霹 大師 的意見~

佩穎 同學, 你指的應該是銳角~

╭∧---∧╮
│ .✪‿✪ │
╰/) ⋈ (\╯

2014-03-25 23:37:47 補充：
教書的 大大 有理～

如果是 (任意) n邊形，那麼答案就不只 4 個啦～

2014-03-26 15:58:42 補充：
老怪物大師，你的解答比較詳盡、完整，請作答～

我搬到意見欄～

http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7014020800189

上次是在下答的。〔也看看上帖的意見欄〕

　給一個多邊形，它最多有４個直角。〔長方形就是一例〕
　給一個多邊形（邊數大於或等於5），它最多有３個直角。

既然已經有例子是有４個直角，那麼當然最多是可以有４個直角，不是３個啦～

( ◕‿◕ ♫╭✰)

任何凸n邊形的一組外角和都是360度
最多可以分成4個直角即為矩形