條件獨立的問題 ??

1.
在 Ai 沒發生的情況下，沒有事件 B 和事件 C。
因此，不能在不提 Ai 的情況下而判別事件 B 跟事件 C 的關係。


=====
2.
當 Ai 發生後，所選的 box中有 i 個 gold coins和 k-i 個silver coins。當中 i 和 k 都是已知數。
由於 with replacement，每次抽出的coins 都會放回 box 中，故每次抽出 coins 時，box 中有 i 個 gold coins和 k - i 個silver coins。故此每次抽出 gold coin 的 probability 是i/k，而抽出 silver coin 的probability 是 (k - i)/k。
因此，無論第 n 次抽出甚麼coin，都不會影響第 n+1 次抽出silver coin 或 gold coin 的probability。
結論是：在 Ai 發生的前提下，事件 B 跟事件 C 是獨立的。

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從實驗的程序來說, 沒有確立 Ai, 就沒有事件 B, C.
也就是說, 實驗都還不存在.

這是回答者與樓上所稱 "談不上獨立或相依" 的立論.


不過, 事實上這裡談 B, C 條件獨立, 也就是說
given Ai, 則 B 與 C 獨立;
不給定 Ai, 則 B 與 C 相依.
所謂 "不給定Ai", 並不是沒有任何一個 Ai 發生, 並不是實驗
還沒做. 事實上談 "機率", 談的是一種可能, 並不一定真的去
做了實驗. 實驗做完, 就只有 "結果" 而沒有機率可言了.

2014-03-26 10:05:38 補充：
不給定 Ai, 也就是說如果實驗結果只記錄與事件 B, C 有關的,
而不記錄與 Ai 相關的, 那麼, B 與 C 是相依的.

實驗有記錄與 Ai 相關的結果, 而我們確知某個特定 Ai 發生了,
那麼, B 與 C 是獨立的.

以丟硬幣為例 (抽金/銀幣的例子其實不大好), 如果知道硬幣是
公正的(正反面機會均等), 那麼, 不管前面丟出什麼樣的結果,
哪怕是丟出一連串都是正面, 也不影響下一次丟出正面的機率.

2014-03-26 10:05:51 補充：
但是, 如果硬幣不一定是公正的, 那麼, 看到連續丟出20次正面,
你會認為第21次丟擲結果是正面的機率仍是 1/2 嗎? 如果有一
堆硬幣, 其出現正面機率並不一致, 隨機抓一個, 你並不知道丟
這個硬幣出現正面機率是多少, 因此在連續丟 n 次並記錄其結
果之後, 你對第 n+1 次丟擲出現正面的機率評估將依前 n 次丟
擲結果而定. 因為, marginally, 前 n 次丟擲結果與第 n+1 次丟
擲結果是相依的, 所以你能根據前 n 次結果預測第 n+1 次結果.
但如果你已知道這個硬幣出現正面機率, 不管苧 n 次結果如何,
第 n+1 次丟擲出現正面機率仍是你已知的那個機率.

2014-03-26 11:01:10 補充：
再說得更具體些. 假設我們進行下列實驗:
從出現正面機率各不等的一堆硬幣中隨機抽出一個,
丟 n+1 次, 記錄前 n 次有幾次正面, 以及第 n+1 次
結果.

把這樣的實驗重複無數次.

最後, 把每次實驗結果整理成 (X,Y), X 代表前 n 次結果
中有幾次正面, Y 代表第 n+1 次結果是正面或反面. 那
麼, 無數次實驗也就是代表有無數組結果 (X,Y). 結果將
發現: X 較大的, 對應的 Y 較多代表正面; X 較小的, Y
較多代表反面. 也就是說 X 與 Y 是相依的.

2014-03-26 11:01:20 補充：
如果實驗記錄也包括了取到的硬幣是哪一個(或取到的硬
幣出現正面機率是多少). 那麼, 在這無數次實驗結果中把
某一個硬幣(或出現正面機率是某特定值)的部分抓出來看,
將發現這些結果, 其 X 大小與 Y 無關. 這就是條件獨立.

2014-03-31 09:19:21 補充：
1.
如果把老怪物的例子做一下總結的話
在丟硬幣實驗中
如果事前機率已知 則第n+1次 與 前n次是獨立的
如果事前機率未知 則第n+1次 與 前n次是相依的
不知道這樣想是對的嗎?



不是.

應說: 若事前機率是固定的, 不管已知未知, 例如僅有一個
硬幣, 若投擲手法不變, 假設沒有疲勞、磨損的問題, 那麼
各次投擲結果是相互獨立的.


如果是從一堆出現正面機率不等的硬幣中隨機取一個出來
投擲, 那麼, 在給定那一個硬幣的條件下, 前後投擲結果是
相互獨立的; 不給定那樣的條件, 就整個實驗來說, 前面投
擲結果能提供後面的投擲出現正面機率大小的訊息, 所以
是不獨立的.

2014-03-31 09:26:05 補充：
2.
為什麼抽金、銀球的例子會不大好呢?
:
:
那照理說每次實驗抽出金、銀球的機率也就固定了
那為何第n+1次 與 前n次仍是相依呢?


(a)
因為所有計算是以 "機會均等" 為基礎的. 金銀球如果只是
"金、銀色的球", 只是表面色彩, 那麼還是可以的, 但 "金、
銀球" 如果是質地的不同, 可能質量或外觀上有差別, 抽球
時難保機會均等.

(b)
因為抽出金銀球在抽球時機率固定了, 所以才會 "條件獨立".
這 "條件" 就是給定抽出金銀球的機率了. 而就整個實驗來說,
抽出金銀球的機率是隨機的.

2014-03-31 09:33:25 補充：
"整個實驗" 其實就像 "意見6" 所說的;

而 "給定機率", 就如 "意見7" 說的, 是整個實驗
在某一特定條件下的部分.


當然你可能會有所疑惑, 因為實際的實驗只有其
中一個 (機率特定, 只有一組 (X,Y) 的結果). 其實,
關鍵在你看問題的角度, 是把這一個實驗看成是
"意見6" 中無數次實驗中的一個, 或是根據已發生
事實把它看成如 "意見7" 中的一個.

2014-03-31 09:39:08 補充：
也就是說: 實際上描述的只是一次實驗, 一組資料 (X,Y) 以及
可能已知或未知的機率 p. 但在談出現 (X,Y) 結果的 "機率"
時, 必然是要把這一次實驗嵌入一套實驗裡面. 就整個實驗
的描述, 所考慮的一次實驗是 "意見6" 中無數次實驗中的一
個; 而你也可能把它看成是 "意見7" (p 已定) 中的實驗中的
一個.

第一題：

如土扁所說，沒有確立 Ai，便沒有 B 和 C。沒有 B 和 C 就談不上相不相依。

「你抽了n次都是紅球，所以你理所當然會認為紅球很多，因此下一次抽到紅球的機會因此提高」

這是一個莫名其妙的解說，前提是你為甚麼抽了很多次紅球？