統計學-簡單回歸分析的性質

一. 該筆記並未涉及 "母體迴歸線".


要談群體迴歸直線, 那就必須了解 "直線迴歸模型".
基本模型是:
Y = α + βX + ε,
其中 E[ε|X] = 0, Var(ε|X)=σ^2
所以 E[Y] = α+βE[X]+E[ε] = α+βE[X]
表示群體迴歸線 μ(x) = α+βx 通過 (E[X],E[Y]).


至於樣本迴歸線, 事實上最小平方法的 normal equations
Σy_i = α^ + β^ Σx_i
Σx_i y_i = α^ Σx_i + β^ Σx_i^2
第一個式子已顯示 ybar = α^ + β^ xbar
也就是說樣本迴歸線 y' = α^ + β^ x 通過 (xbar,ybar).



二.
這應是 "統計量之抽樣分布" 的小例子.
看來群體大概是 {1,2,3}, 抽 n=2 的樣本.
那麼, 在抽出後不放回的抽樣法, 可能樣本是 {1,2},{1,3} 及 {2,3} 三種.
筆記中的例子大概是 "抽出後放回" 的抽樣法, 其可能樣本是
(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(3,3)
這些樣本分別計算其樣本平均數及樣本變異數, 再整理其結果,
即得本例之樣本平均數及樣本變異數之抽樣分布. 以樣本平均
數為例, 上面所列9個可能樣本(考慮了抽出順序)之樣本平址數
依次為 1, 1.5, 1.5, 2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3. 整理後
Xbar frequency
1.0 . . . 1
1.5 . . . 2
2.0 . . . 3
2.5 . . . 2
3.0 . . . 1
把次數再除以 9(可能樣本數), 就得 Xbar 各可能值之機率.

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