等差級數問題如下所說

等差數列4，7，10，.........，3n+1,至少要加到第幾項後，其總和才會超過170
Sol
設Sn=pn^2+qn
S1=p+q=4
S2=4p+2q=11
p=3/2，q=5/2
Sn=3n^2/2+5n/2
S9=3*81/2+5*9/2=144
S10=3*100/2+5*10/2=175
加到第10項後其總和才會超過170

等差數列4, 7, 10, ...,3n + 1, 假設至少要加到第 n 項後, 其總和才會超過170。

首項 = 4
尾項 = 3n + 1
項數 = n

總和 = (首項 + 尾項) × 項數 ÷ 2

要求 > 170

( 4 + 3n + 1 ) × n / 2 > 170
( 3n + 5 ) × n / 2 > 170
( 3n + 5 ) × n > 340
3n² + 5n > 340
3n² + 5n - 340 > 0

2014-03-20 22:54:18 補充：
考慮二次方程 3n² + 5n - 340 = 0
二根為 {-5 ± √[ 5² - 4×3×(-340)]} / (2 × 3) = (-5 ± √4105) / 6

因此, 3n² + 5n - 340 > 0 的解為

n > (-5 + √4105) / 6 ≈ 9.845　或　n < (-5 - √4105) / 6 （捨去）

所以, n ≥ 10。

最少要加到第 10 項可以超過 170 。

2014-03-20 22:54:26 補充：
驗算：

加 9 項：
4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = 144 ≤ 170

加 10 項：
4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 = 175 > 170

感謝所有回答及意見著

等差數列總和 n[4+(3n+1)]/2 > 170
n(3n+5) > 340

若乘開變成要解二次不等式, 會較困難
因為n和3n+5都是正數, 其實用試的比較快
以n=10代入
n(3n+5)=10(30+5)=350(合)
以n=9代入
n(3n+5)=9(27+5)=288(不合)

故取n=10, 加到第10項會超過170

2014-03-20 23:02:58 補充：
如果你一開始試的不是10也沒關係

例如以n=5代入得n(3n+5)=100 差太多
你就可以跳到n=10代代看
很快就能找到

不建議去解二次不等式
因為太花時間又容易算錯

2014-03-20 23:27:32 補充：
其實檢查n(3n+5)乘開後的第一項3n^2來和340比較

兩邊除以3來看, n^2大約是100, 就能從n=10開始試了

這樣應該比較快

首先，先令要加到第n項
再帶入等差級數的公式: n(4+(3n+1))/2>170
再整理一下變成3n*n+5n-340>0
用"公式解":n>-5+√(25+4*3*340*340)/3*2或n<-5-√(25+4*3*340*340)/3*2(位小於0,所以不合)
再簡化n>-5+√(4115)/6≒9
所以n至少要為10
要加到第10項

2014-03-20 22:52:04 補充：
抱歉
平方不會打
而且有點亂
請多多包含
謝謝