求 n 的最大可能值

考慮任意的一個 2×2 局部方格「田」的各格可能數字 :若四格數皆為偶數, 則四格數任兩格數之和為 偶數≥ 4 不為質數。若四格數皆為奇數, 則四格數任兩格數之和均為偶數,
故任兩格數之和只能為 2 , 即四格數皆為 1。若四格數有奇有偶, 則只能三奇一偶, 否則任何兩格偶數之和都壞了規矩;
再者, 三格奇數亦須為 1。明顯地,欲使 n 最大, 則三奇一偶的「田」應盡量地多。
為此, 我們來觀察更廣的一個局部 ----- 2 × 5 方格 :◇★◇★◇
◇★◇★◇其中★表示某些「田」的重叠格, 而 n 值大小取決於偶數多寡,
為此, 這些重叠格內要全部為1, 使其沒有任何偶數重複, 方能使 n 值最大。以下為 2 × 5 方格出現最多偶數的一種可能, 最多可達三個偶數 :02_01_06_01_10
01_01_01_01_01 於是我們得到一個使 n 值最大的例子 :
02_01_06_01_10
01_01_01_01_01
12_01_18_01_22
01_01_01_01_01
28_01_30_01_36此例中,
首2列所構成的 2 × 5 方格達三個偶數,
第3、4列所構成的 2 × 5 方格亦達三個偶數,
而最後一列六個數中不能有任何偶數相鄰, 故最多有三個偶數。
有 1、2、6、10、12、18、22、28、30、36 共十個不同的正整數,
所以 n 的最大可能值是 10 。



2014-03-20 00:09:44 補充：
當 n 取最大值時, 下證偶數位置唯一：

把 5 × 5 方格分區如下：

★★☆☆☆
★★☆☆☆
★★◇★★
☆☆☆★★
☆☆☆★★

四個 2 × 3 星區明顯每區最多包含兩個偶數, 中心格可包含一個偶數, 再次證得 n 的最大可能值為 4 × 2 + 1 + 1 = 10。

n 最大時中心格必為偶數, 其八個包圍格必是 １：

★★☆☆☆
★１１１☆
★１偶１★
☆１１１★
☆☆☆★★

而每邊中心格必為偶數,因為三星角位至多容納一個偶數：

★★偶☆☆
★１１１☆
偶１偶１偶
☆１１１★
☆☆偶★★

2014-03-20 00:09:55 補充：
最後的四個偶數明顯只能放於四角：

偶★偶☆偶
★１１１☆
偶１偶１偶
☆１１１★
偶☆偶★偶

故九個偶數位置唯一, 證畢！

參考下面的網址看看

http://phi008780520.pixnet.net/blog

你想說甚麼呢？你在給提示？

2014-03-16 23:51:03 補充：
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我在搞亂！嘻嘻！這不是提示。

2014-03-17 08:56:30 補充：
兩格有公共頂點——two boxes having the same vertex
例如下面四個相連格子：
A | B
---+---
C | D
(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D) 及 (C, D) 都有公共頂頂點，
所以 A+B, A+C, A+D, B+C, B+D 及 C+D 的值都是質數。

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2014-03-17 05:59:09 補充：
其實我是在指出「兩格有公共頂點」，即是好像國際象棋的棋盤。

但我找不到合適的字元。 =P