國二數學問題3題

1.附圖一為面積240cm^2的正六邊形，而且黑點皆為各邊的等分點，求灰色部分 面積?(A)80cm^2(B)80又(1/3)cm^2(C)86又(2/3)cm^2(D)90又(1/3)cm^2
(其中會一題也可回答)Ans:Area(正Δ)=√3*r^2/4Aera(正6邊形)=240=6*(√3*r^2/4)=> r^2=160/√3設正6邊形右下角=原點=(0,0)則反時鐘第2點=(r/6,r√3/6)第3點=(0,r√3)第4點=(-r/2,r√3)第5點=(-r/3,0)A=|0 r/6 ...0 ..-r/2 -r/3 0|
..|0 r√3/6 r√3 r√3 0 ..0|/2=r^2*(√3/6+√3/2+√3/3)/2=r^2√3/2=(√3/2)*160/√3=80cm^2......ans=(A)


2014-03-12 08:30:53 補充：
2.如附圖二，已知三角形ABC為直角三角形，且線段AC為斜邊，線段AB=3， 線

段BC=4，問以線段AC為軸旋轉後所得立體圖形的體積為?(A)48π(B)24π(C)

(32/5)π(D)(48/5)π (註:π是圓周率的符號)

Ans:

作BD⊥AC BD=x DC=5-x

BD^2=9-x^2=16-(5-x)^2

=> x=AD=1.8, DC=3.2

=> BD^2=9+1.8^2 => BD=12/5

V=V(ABD)+V(CBD)

=pi*BD^2[x+(5-x)]/3

=pi*144*5/25*3

=48*pi/5......ans=(D)

2014-03-12 08:37:48 補充：
3.如附圖三，ABCDEF為一等角六邊形，若線段AF=8，線段FE=6，段ED=9，線段CD=5，則線段AB=?

Ans:

解決諸Δ 最後剩下ΔABC:

AC=13.076 ∠ABC=120

只有2個條件 無法求取其他諸元素

=> AB=無限多組解答

利用面積流水定理(有平行線，會造成同底等高而等面積三角形)，與同高三角形面積比等於底邊比
定六邊形上的點如下
　　　Ａ　　　Ｆ

Ｂ　　　　Ｏ　　　　Ｅ

　　　Ｃ　　　Ｄ
定灰色面積上的點如下
　　　　　Ｐ　Ｆ


　　　　　　　　　Ｒ
　　　　　　ＱＤ
三角形PQD=1/3*三角形PCD　　(底邊三等分)
=1/3*2*三角形OCD　　　　　　(同底，高2倍)
=1/3*2*1/6*六邊形ABCDEF　　　(對角線六等分面積)
=1/9*六邊形ABCDEF

三角形PFD=1/2*三角形AFD　　(同高，底1/2倍)
=1/2*2*三角形AOF　　　　　　(同底，高2倍)
=1/2*2*1

2014-03-12 07:57:05 補充：
三角形PFD=1/2*三角形AFD　　(同高，底1/2倍)
=1/2*2*三角形AOF　　　　　　(同底，高2倍)
=1/2*2*1/6*六邊形ABCDEF　　(對角線六等分面積)
=1/6*六邊形ABCDEF

三角形FRD=1/3*三角形FED　　(底三等分)
=1/3*三角形OED　　　　　　　(OF//ED，同底等高)
=1/3*1/6*六邊形ABCDEF　　　(對角線六等分面積)
=1/18*六邊形ABCDEF

由上知，
灰色=(1/9+1/6+1/18)*六邊形ABCDEF=1/3*240=80

2014-03-12 10:45:36 補充：
斜邊上的高BH=3*4/5=12/5，
用商高(或相似)得AH=9/5，CH=16/5
旋轉紙張，將AC看成鉛直線
旋轉後的立體圖形可分為上、下兩圓錐
上圓錐半徑12/5，高9/5，體積=1/3*PI*(12/5)^2*9/5=432/125*PI
下圓錐半徑12/5，高16/5，體積=1/3*PI*(12/5)^2*16/5=768/125*PI
總體積=432/125*PI+768/125*PI=48/5*PI

2014-03-12 10:52:15 補充：
延長AF、BC、DE，分別交於PQR
示意圖如下
P　　A　　　　F　　　R
　 B　　　　　　　E

　　　C　　　D
　　　　　Q
因為等角六邊形，可知內角均120度，
推得新得三角形內角均為60-60-60，即均為正三角形(三小一大)
可知QR=QD+DE+ER=5+9+6=20
PA=PR-AF-FR=20-8-6=6