若 a, b, c, d 為四個相異實數...

(a + 2c) (a + d) = 10
⇔ a² + (2c+d)a + 2cd - 10 = 0(b + 2c) (b + d) = 10
⇔ b² + (2c+d)b + 2cd - 10 = 0故 a , b 為實係數方程 x² + (2c+d)x + 2cd - 10 = 0 之相異實根。
兩根和 = a + b = - 2c - d
兩根積 = ab = 2cd - 10 ∴ (a + 2c) (b + 2c)
= ab + 2c(a + b) + 4c²
= 2cd - 10 + 2c( - 2c - d) + 4c²
= - 10


2014-03-11 23:59:18 補充：
機會總是有的,大家可想想其他方法。

2014-03-12 14:52:06 補充：
「相異實數」這個條件至關重要!
否則不能保證 a , b 跑遍 x² + (2c+d)x + 2cd - 10 = 0 之兩根,使得解答中兩根和/積之表示式無所根據。

事實上,若無此條件,
取 a = b = d = 1 , c = 2 使 (a + 2c) (a + d) = (b + 2c) (b + d) = 10

則該值 = (a + 2c) (b + 2c) = (1 + 4) (1 + 4) = 25 ≠ -10。

2014-03-12 23:24:37 補充：
謝謝 cefpirome ! 是你給了機會大家去想。

^^ 其實我仍在想「相異實數」這個條件．．．

2014-03-12 00:44:54 補充：
a ≠ b 是可以理解的。

2014-03-12 16:50:32 補充：
謝謝解說！！！

這令大家獲益良多～！

2014-03-12 23:42:56 補充：
感謝 cefpirome！

ღ(｡◕‿◠｡)ღ

2014-03-13 20:23:38 補充：
各位大師，今年圓周率日問什麼題好呢？

問如何用代數證圓周率在３和４之間會否太簡單？

太快了，給個機會大家想想可以嗎？

2014-03-12 09:21:08 補充：
"相異實數" 就是全不相的實數。
否則會很容易試出答案。例如：
a=1，b=-6，c=2，d=1
(a + 2c)(a + d) = 5*2 = 10
(b + 2c)(b + d) = -2*(-5) = 10
(a + 2c)(b + 2c) = 5*(-2) = -10

所以 cefpirome 大大 答 -10, 又沒有任何理據, 我是不可能有回應.

2014-03-12 15:17:01 補充：
高手就是高手，多謝解說。

2014-03-13 00:03:40 補充：
謝謝 cefpirome，大開眼界，高人深藏不露。

2014-03-13 11:11:32 補充：
所以說；"高手多在意見欄中。"

2014-03-13 22:48:58 補充：
大家咁高興，我過多兩日先 close file 囉。

對不起，雨後晴空大大，要你等多兩日。

-10 ?

有錯請指正，謝謝!

2014-03-12 23:17:54 補充：
我是把4個括弧內的數視為4個整體。

注意到: (a + 2c) - (a + d) = (b + 2c) - (b + d)

也就是，序對 [x,y] = [(a + 2c),(a + d)] 與 [(b + 2c),(b + d)] 為下列聯立方程組之解:

xy = 10 ...(1)
x - y = 2c - d ...(2)

那麼，(a + 2c) 與 (b + 2c) 為方程式 x(x-2c+d)-10 = 0 [(2)代入(1)] 之相異兩根(因 a≠b)。

所求 (a + 2c)(b + 2c) = 兩根積 = -10

2014-03-12 23:21:16 補充：
(承上)
本題是實數，亦可用解析幾何思考(依然把4個括弧內的數視為4個整體)。

[(a + 2c),(a + d)] 與 [(b + 2c),(b + d)] 為 xy = 10 圖形上之兩相異點(因 a≠b)。

又 (a + 2c) - (a + d) = (b + 2c) - (b + d)，

故 [(a + 2c),(a + d)] 與 [(b + 2c),(b + d)] 亦為 x - y = 2c - d 圖形上之兩相異點。

即，[(a + 2c),(a + d)] 與 [(b + 2c),(b + d)] 為 xy = 10 與 x - y = 2c - d 之兩相異交點。

2014-03-12 23:22:18 補充：
(承上)

由圖形對稱性知，(b + 2c) = - (a + d) [精確地說，xy = 10 與 x - y = 2c - d 皆對稱 x+y=0，故兩相異交點對稱 x+y=0，從而具有(p,q)與(-q,-p)型式]

所求 (a + 2c)(b + 2c) = (a + 2c)[-(a + d)] = -10


由上討論，原題似乎只要規定 a≠b 即可，不必 a,b,c,d 皆相異。進一步地，由"代數解"可知，a,b,c,d 是複數亦可。

2014-03-13 00:21:23 補充：
各位大國手們太客氣了。受諸位指導很多，在此致謝與致敬!!!