數學：111...有平方數嗎？

1. 請證明：除了「1」是「平方數」以外，
「11，111，1111，11111，111111，...不管幾個1」都不是平方數。

先知道若平方數 n² 的個位為 1，那麼 n 只能是 10k+1 或 10k+9 其中 k 為整數。

留意
(10k + 1)² = 100k² + 20k + 1 = 20(5k² + 1) + 1
(10k + 9)² = 100k² + 180k + 81 = 20(5k² + 9k + 4) + 1

由於 5k² + 1 和 5k² + 9k + 4 皆為整數，
所以任何個位為 1 的平方數，它的十位必為偶數，不能是 1。

因此，除了「1」是「平方數」以外，
「11，111，1111，11111，111111，...不管幾個1」都不是平方數。

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2. 如果1111...有平方數，那麼最小的是「幾個1」所組成的？
它的平方根是多少？

由 1. 可見，數列 {1, 11, 111, 1111, 11111, ...} 中只有 1 是平方數，所以最小的是由 1 個 1 組成的。
它的(正)平方根是 √1 = 1 。

2014-03-10 23:10:02 補充：
你可看看我在下帖意見欄的圖片：

http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7013091700252

2014-03-10 23:12:46 補充：
☂雨後晴空☀ ，謝謝你～ ☆ヾ(◕‿◕)ノ

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╰/) ⋈ (\╯

2014-03-10 23:47:32 補充：
謝謝阿番大師，明天升級了我就會加入各位好友，當然包括阿番大師。

(｡◕‿◕｡)

2014-03-11 00:51:46 補充：
游於數，謝謝你的分享～

又是一個好方法！

﹝｡◕‿◕｡◕‿◠｡﹞

設該值為2n或2n+1

(2n)^2=4n^2,4n^2/4=n^2...0

(2n+1)^2=4n^2+4n+1,(4n^2+4n+1)/4=(n^2+n)...1

由此可知平方數被4除餘數為0或1

「11，111，1111，11111，111111，...不管幾個1」被4除餘數皆不為0或1

因此皆不是平方數

1)

考慮奇平方數 (2n+1)² = 4n² + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1 ,
因 n 和 n+1 中必有一個為偶數 , 故 n(n+1) = 2m , m是整數,得 (2n+1)² = 8m + 1。

但 111...111 = 111...1000 + 104 + 7 = 8 (125 × 111...1 + 13) + 7 不為 8m + 1 型, 故 111...111(至少3個1) 不是平方數, 顯然11也不是平方數, 得證。


2)

由題1)知最小的是「一個1」所組成的, 它的平方根是 1 或 -1。

貓大恭喜升格為知識長更上一層樓

留意尾數是1,9不錯的做法
一般易忘掉9

雨知識長想法不錯真是高手中的高手