樣本抽取機率

學校代號 S1 S2 S3 S4 S5
學生人數 200 200 600 400 600
試求出各小學被抽中之機率(10分)

s1的機率

第一次抽中s1 + 第二次抽中s1的所有可能

1/10 + (抽中s2後抽中s1 + 抽中s3後抽中s1 + 抽中s4後抽中s1 + 抽中s5後抽中s1)

1/10 + [(1/10)*(1/9) + (3/10)*(1/7) + (2/10)*(1/8) + (3/10)*(1/7)] = 1/10 + 307/2520

s2的機率 = s1的機率

1/10 + (抽中s1後抽中s2 + 抽中s3後抽中s2 + 抽中s4後抽中s2 + 抽中s5後抽中s2)

1/10 + [(1/10)*(1/9) + (3/10)*(1/7) + (2/10)*(1/8) + (3/10)*(1/7)] = 1/10 + 307/2520

s3的機率

第一次抽中s3 + 第二次抽中s3的所有可能

3/10 + (抽中s1後抽中s3 + 抽中s2後抽中s3 + 抽中s4後抽中s3 + 抽中s5後抽中s3)

3/10 + [(1/10)*(3/9) + (1/10)*(3/9) + (2/10)*(3/8) + (3/10)*(3/7)] = 3/10 + 227/840

s4的機率

第一次抽中s4 + 第二次抽中s4的所有可能

2/10 + (抽中s1後抽中s4 + 抽中s2後抽中s4 + 抽中s3後抽中s4 + 抽中s5後抽中s4)

1/10 + [(1/10)*(2/9) + (1/10)*(2/9) + (3/10)*(2/7) + (3/10)*(2/7)] = 2/10 + 68/315

s5的機率 = s3的機率

第一次抽中s5 + 第二次抽中s5的所有可能

1/10 + (抽中s1後抽中s5 + 抽中s2後抽中s5 + 抽中s3後抽中s4 + 抽中s4後抽中s5)

1/10 + [(1/10)*(3/9) + (1/10)*(3/9) + (3/10)*(3/7) + (2/10)*(3/8)] = 3/10 + 227/840


s1 + s2 + s3 + s4 + s5 = 2


PS
幸好只抽兩所學校
如果是抽三所學校的話 就累了
抽四所呢? s1 = 1 - (四次都沒抽到s1)
抽五所呢? 我猜你會笑 ^^Y

嗯.......兩位大師所提高見，小弟受惠良多
還請cefpirome 大直接將回答移至回答處,小弟直接讓賢
畢竟小弟提供的也是蠻模糊的,況且給正確方向的答案,相信對發問者也較好!

回答所引補習班的解答恐怕不見得正確.

分子的部分考慮到不能抽同一所學校, 分母卻不然, 並未扣除抽到同一所學校的情形.


事實上個人覺得這個題目有點語焉不詳, "被抽中的機率" 是指什麼?
假設中與學校大小成比例的 "被抽中的機率" 與最後問的 "被抽中的
機率" 如果是同一東西, 那麼, 樓上的意見反而才是對的.

2014-03-11 13:59:23 補充：
不等機率抽樣有 pps 與 πps, 前者是在逐次抽樣中的抽中機率與
size 成比例, 後者是最後出現於樣本的機率與 size 成比例. 而其
操作手法也是一個問題. 如補習班那解法, 若將數字放大, 不用
1,1,3,2,3, 而用原來的 200,200,600,400,600, 或簡單一點的 2,2,6,4,6
我想這些算出來的結果應是不同的.

依題意，(S1,S2,S3,S4,S5) 被抽中的機率依序設為 (P,P,3P,2P,3P)

則 P+P+3P+2P+3P = 2

即 P = 1/5

故，(S1,S2,S3,S4,S5) 被抽中的機率依序為 (1/5,1/5,3/5,2/5,3/5)

(驗證: 諸 Pi <= 1, 可成立)

2014-03-11 14:12:09 補充：
謝謝統計專家 老怪物 大師的高見。

我也好奇會這麼簡單嗎? 但是如果我沒誤會題意("被抽中的機率"指"最後出現於樣本的機率")，應該就是這樣的結果吧。(當然另有"較嚴謹的列式"法，答案一樣)。

2014-03-11 22:39:36 補充：
釋塵 知識長客氣了。我對統計學涉獵不多(中學程度)，所以也不敢亂答，以免誤人。發表淺見只是想拋磚引玉，希望有研究的大大可以出來指導。