三題困難的微積分問題(建議是數學系)

2. f(x) = x^3 - (sin^2 x) * (tan x) < 0 x 在 (0 , pi/2)
[ANS]
方法不是很好，請參考:
http://photo.i-part.com.tw/4883034/3/page1

2014-03-12 01:46:14 補充：
有些地方 < 或 >請自己改為: <= 或 >=

2014-03-12 02:18:05 補充：
3. g(x) = 2 x^2 - (sin^2 x) - x(tan x)
<=>
h(x) = 2 x^2*cos x - sin^2 x* cos x - x*sin x
使用預備知識的(2)，(3)和(4)代入 h(x)
可以得到
h(x) >= -(1/9) x^6(1-x^2/8) <0 當x 在[0,Pi/2]
[完成]
計算不知有沒有錯，不過作法應該沒有問題。
請自己小心驗證。
•

2014-03-13 15:05:38 補充：
1. lim(n->infinite) n / [ (n!) ^ (1/n) ]
求極限值
http://photo.i-part.com.tw/4883034/2/page1

2. f(x) = x^3 - (sin^2 x) * (tan x) < 0 x 在 (0 , pi/2)
http://photo.i-part.com.tw/4883034/3/page1
有些地方 < 或 >請自己改為: <= 或 >=
3. g(x) = 2 x^2 - (sin^2 x) - x(tan x) < 0 x 在 (0 , pi/2)
[sol]
g(x) = 2 x^2 - (sin^2 x) - x(tan x)
<=>
h(x) = 2 x^2*cos x - sin^2 x* cos x - x*sin x
使用第2題所提供之預備知識的(2)，(3)和(4)代入 h(x)
可以得到
h(x) >= -(1/9) x^6(1-x^2/8) <0 當x 在[0,Pi/2]
[完成]
計算不知有沒有錯，不過作法應該沒有問題。
請自己小心驗證。

2014-03-14 01:30:44 補充：
好，但請給我一點時間。

2014-03-14 02:18:37 補充：
2(x-sinx)(x+sinx) + (x-tanx)(x+tanx)…(1)
≦ 2x(x-sinx) +2x(x-tanx)…(2)
上面的不等式是不是錯了，因為x在[0，pi/2]:
sin x >=0,= > (x+sinx)>=x,

將x=0.8代入 (1)與(2) 知 (1)= -0.17 >(2)=-0.24
將x=1.5代入 (1)與(2) 知 (1)=-194.1 < (2)=-36.3
所以上面的不等式應該不成立。

2014-03-14 02:21:00 補充：
2014-03-14 00:27:58 補充
和
2014-03-14 00:29:00 補充
我驗證了，應該正確。

2014-03-14 13:55:18 補充：
恭喜你，我驗證幾次，的確無誤。
第3題，是否可以用同樣的作法處理，
請試試並告知。
祝你學安。

到下面的網址看看吧

▶▶http://*****

精闢的講解 !!!!!

解法真精采!!!

不過我想請問一下δ_n 這東西是???

2014-03-11 07:28:37 補充：
非常感謝你的講解~~

2014-03-14 13:11:55 補充：
恩 筆誤.....

f(x) = x^3 - (sin^2 x) * (tan x)
f'(x)=3x^2 - 2sinxcosxtanx - (sin^2 x)(sec^2 x)
=3x^2 - 2sin^2 x - tan^2 x
=2(x^2 - sin^2 x) + (x^2 - tan^2 x)
=2(x-sinx)(x+sinx) + (x-tanx)(x+tanx)
≦ 4x(x-sinx) +2x(x-tanx)
=2x(3x - 2sinx - tanx)

2014-03-14 13:12:24 補充：
Let h(x)=3x - 2sinx - tanx
=>h'(x)=3 - 2cosx - sec^2 x
=>h"(x)=2sinx - 2secxsecxtanx < 0 for all 0 < x < pi/2

修正後 應該不影響推論?

2014-03-14 13:14:27 補充：
不等式的推論 我是使用三角函數的性質
sinx < x < tanx x屬於(0,pi/2)

1. lim(n->infinite) n / [ (n!) ^ (1/n) ]

令 A = lim (1/n) ln(n!/n^n), 則原極限 = 1/e^{A} = e^{-A}

取 δ_n = 1/(Kn), K 是任意定的一個大於 1 的正數, 則
∫_[δ_n,1] ln(x) dx 的一個黎曼和是
(K-1)/(Kn)ln(1/n) + (1/n)[ln(2/n)+...+ln(n/n)]
=(1/n)ln(n!/n^n) - ln(1/n)/(Kn)

2014-03-09 20:48:09 補充：
左式接近 ∫_[δ_n,1] ln(x) dx, 誤差不超過
-ln(δ_n)/(2n) = (ln(n)+ln(K))/(2n) → 0 當 n→∞
右式第2項 ln(1/n)/(Kn) 也趨近於 0.

因此
A = lim (1/n) ln(n!/n^n) = lim ∫_[δ_n,1] ln(x) dx = ∫_(0,1] ln(x) dx = -1

所以, lim n/(n!)^{1/n} = e.

2014-03-10 11:02:27 補充：
因為 ln(x) 在 x→0 時無界, 因此不能直接考慮在 [0,1] 的黎曼和,
只能考慮從某個正數 δ 開始的黎曼和. 本來 δ 應先固定, 也就是
考慮 [δ,1] 的定積分及其黎曼和. 但 n 無限大時, 會有愈來愈多的
ln(k/n) 落在 (0,δ] 範圍. 所以上面的解法是在 n 增大時, δ 隨之變
小, 使得僅 ln(1/n) 受到影響.

2014-03-10 11:02:43 補充：
當然能這麼做, 或者說要這麼做之前, 需要能控制一些誤差. 例如
ln(x) 在 [δ_n,1] 的定積分與所取黎曼和之間的誤差要能控制. 因
為對 ln(x) 在 [δ_n,1] 而言, 現在只取一個特殊的黎曼和, 也就是
取 ln(1/n),...ln(n/n) 這 n 個點構造的黎曼和.