設兩函數 f, g 滿足:
f(x)= x + sinx * cosx
g(x)= (x+ sinx * cosx) * e^sinx
則 lim_x->infinite [f(x)/g(x)] 為 ( infinite/infinite 之不定型)
[註:暫時不要將分子與分母的 x + sinx * cosx 約掉, 先保留著]
即滿足使用 L' Hospital's Rule 條件
因此 lim_x->infinite [f(x)/g(x)] = lim_x->+infinite [f'(x)/g'(x)]
又 lim_x->infinite [f'(x)/g'(x)] 算出來等於 0 (極限存在)
然而實際上 lim_x->infinite [f(x)/g(x)] 是不存在的
[註:若計算時將分子與分母的 x + sinx * cosx 項都約掉]
左式實際上不存在,那為何會等於一個收斂的右式 0..
請問這是不是 L'Hospital's Rule 的反例, 請加以說明?
L' Hosptal's Rule 只有說明當極限內為不定型時即可使用其定則
然而並未闡述一定要將分子分母化為最簡 (即:能約的都約掉)
可是這一結果卻會使得一個實際上不存在的極限
做一次羅必達(滿足該定則使用時機) 之後卻會產生一個存在的極限.
請問這其中的關係該如何解釋說明,小的非常困惑 ...
煩請各位高手幫幫忙,20點奉上,謝謝^_^
微積分 - L' Hospital's Rule 反例
2014-03-09 6:12 pm
回答 (4)
2014-03-10 3:25 am
✔ 最佳答案
阿就1+1=2阿你是不會喔
不是很簡單嗎?
2014-03-10 5:45 am
"L' Hosptal's Rule 只有說明當極限內為不定型時即可使用其定則"
這句話不對喔! 要注意.
L'Hospital's rule 要成立, 除了是 0/0 及 ∞/∞ 形的不定式, 並且分子
分母可微分以外, 還要 lim f'(x)/g'(x) 存在, 或結果是 ±∞, 才有
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) 的結果.
這句話不對喔! 要注意.
L'Hospital's rule 要成立, 除了是 0/0 及 ∞/∞ 形的不定式, 並且分子
分母可微分以外, 還要 lim f'(x)/g'(x) 存在, 或結果是 ±∞, 才有
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) 的結果.
2014-03-09 11:37 pm
lim_x->infinite [f'(x)/g'(x)] 算出來等於 0
[ans]
不會吧。
lim_x->infinite [f'(x)/g'(x)]
=lim_x->infinite (1+cos 2x)/[(1+cos 2x)e^sinx+(x+ sinx * cosx) *cos x* e^sinx]
(分子在0~~2擺盪，分母也不確定 )，極限不存在。
lim_x->infinite [f'(x)/g'(x)] 算出來等於 0，應該不對，請再檢驗看看。
[ans]
不會吧。
lim_x->infinite [f'(x)/g'(x)]
=lim_x->infinite (1+cos 2x)/[(1+cos 2x)e^sinx+(x+ sinx * cosx) *cos x* e^sinx]
(分子在0~~2擺盪，分母也不確定 )，極限不存在。
lim_x->infinite [f'(x)/g'(x)] 算出來等於 0，應該不對，請再檢驗看看。
2014-03-09 7:07 pm
看到我打的這篇的大大們~
如果可以的話 也請幫忙回答我的問題：
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1014030901311&mode=w&from=question&recommend=0&.crumb=fUzlj9Y300n
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收錄日期: 2021-05-04 01:56:55
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