矩陣解一二階非齊次方程式問題(附加)

你的反矩陣算錯了，應如下

P=
[1.......1]
[-3/4..-1]

det P = -1+3/4 = -1/4
P^(-1)=
1/(det P) [ -1....-1] =
.............. [3/4....1]

(-4) [ -1.....-1] =
.......[3/4......1]

[4.....4]
[-3.. -4] 所以書上的才對

D =
[ 4...4] [5.....8] [1........1] =
[-3. -4] [-6..-9] [-3/4.. -1]

[-4...-4] [1..........1] =
[9....12] [-3/4... -1]

[-1...0]
[0...-3]

Z' =
[-1...0] [z1] + [1.....1] [1] = [-z1 + 1 + t..]
[0...-3] [z2]....[-3..-4] [ t ]....[-3z2 - 3 - 4t]

應該是這樣，所以書上答案可能是錯了。

這就是我第一次質疑的地方。

不要再不小心刪除了！再一次我就懶得打字了！

^___^



2014-03-08 13:41:01 補充：
更正 一下 打錯字了

Z' =
[-1...0] [z1] + [4....4] [1] = [-z1 + 4 + 4t.]
[0...-3] [z2]....[-3..-4] [ t ]....[-3z2 - 3 - 4t]

所以書上的沒錯！

x'=5x+8y+1.....(1) y'=-6x-9y+t....(2)x(0)=4, y(0)=-3=>λ=-1,-3 Ans:上次使用矩陣法.這次使用微分法.就可以明白矩陣法的秘密Eq.(2)': y"=-6x'-9y'+1=-6(5x+8y+1)-9y'+1.....由Eq.(1)=-30x-48y-6-9y'+1=-30(t-y'-9y)/6-48y-9y'-5.....由Eq.(2)=-5(t-y'-9y)-48y-9y'-5=-5t+5y'+45y-48y-9y'-5=-4y'-3y-5t-5y"+4y'+3y=-5t-5.....(3)特徵方程式為:0=D^2+4D+3=(D+1)(D+3)D=λ=-1,-3齊次解為: yh=c1*e^(-t)+c2*e(-3t)令特殊解為: yp=at+b => yp'=a, yp"=0代入Eq.(3)裡面:-5t-5=0+4a+3(at+b)=3at+(4a+3b)=> a=-5/3, b=(-5-4a)/3=5/9=> y(t)=c1*e^(-t)+c2*e(-3t)-5t/3+5/9.....ans同樣的方法:x"=5x'+8y'=5x'+8(-6x-9y+t)=5x'-48x+8t-72y=5x'-48x+8t-9(x'-5x-1)=-4x'-3x+8t+9x"+4x'+3x=8t+9D=-1,-3xh=c3*e^(-x)+c4*e^(-3x)xp=ct+d => xp'=c, xp"=08t+9=0+4c+3(ct+d)=3ct+(4c+3d)=> c=8/3, d=(9-4c)/3=-5/9=> x(t)=c3*e^(-t)+c4*e^(-3t)+8t/3-5/9.....ans


2014-03-08 13:48:47 補充：
寫成1階1次矩陣微分方程式:

{x'}=[.5 .8]*{x}+{1}
{y'}.[-6 -9].{y}.{t}

令Y'=A*Y+B

特徵方程式為:

0=|A-λI|

=|5-λ 8..|
.|-6 -9-λ|

=(λ+1)(λ+3)

λ=-1,-3

齊次解為:

Yh={C1*e^(-t)+C2*e^(-3t)}
...{C3*e^(-t)+C4*e^(-3t)}

令特殊解為:

Yp={at+b}
...{ct+d}

2014-03-08 13:50:13 補充：
Yp'={a}
....{c}

代入原式裡面:

{a}=[.5 .8]*{at+b}.{1}
{c}.[-6 -9].{ct+d}+{t}

={(5a+8c)t+(5b+8d+1)}
.{(1-6a-9c)t-(6b+9d)}

獲得4個方程式:

5a+8c=0, 6a+9c=1 => a=8/3, c=-5/3

5b+8d=5/3, 6b+9d=5/3 => b=-5/9, d=5/9

=>

x(t)=C1*e^(-t)+C2*e^(-3t)+8t/3-5/9.....ans

y(t)=C3*e^(-t)+C4*e^(-3t)+5t/3+5/9.....ans

2014-03-08 13:51:59 補充：
打錯符號修正: y(t)=C3*e^(-t)+C4*e^(-3t)-5t/3+5/9.....ans