二項分配的變異數

參數(n，p)之二項分配的變異數=np(1－p)，試證明之
Sol
f(x)=C(n，x)*p^x*(1－p)^(n－x)
=n!/[x!*(n－x)!] *p^x*(1－p)^(n－x)
EX=Σ(k=0 to n)_xf(x)
=Σ(k=0 to n)_x*n!/[x!*(n－x)!] *p^x*(1－p)^(n－x)
=Σ(k=0 to n)_n!/[(x-1)!*(n－x)!] *p^x*(1－p)^(n－x)
=Σ(k=0 to n)_n*(n-1)!/[(x-1)!*(n－x)!] *p^(x-1)*(1－p)^(n－x)*p
=np*Σ(k=0 to n)_(n-1)!/[(x-1)!*(n－x)!] *p^(x-1)*(1－p)^(n－x)
=np
E[X(X－1)]=Σ(k=0 to n)_x(x－1)f(x)
=Σ(k=0 to n)_x(x－1)*n!/[x!*(n－x)!] *p^x*(1－p)^(n－x)
=Σ(k=0 to n)_n!/[(x－2)!*(n－x)!] *p^x*(1－p)^(n－x)
=Σ(k=0 to n)_n*(n－1)*(n－2)!/[(x－2)!*(n－x)!] *p^(x－2)*(1－p)^(n－x)*p^2
=n(n-1)p^2**Σ(k=0 to n)_(n－2)!/[(x－2)!*(n－x)!] *p^(x－2)*(1－p)^(n－x)
=n(n－1)p^2
EX^2－EX=n(n－1)p^2=n^2p^2－np^2
EX^2=n^2p^2-np^2+np
VarX=EX^2－(EX)^2
=(n^2p^2－np^2+np)－(np)^2
=np－np^2
=np(1－p)

設 Z1,...,Zn 是 i.i.d. Bernoulli(p) 變量 (即 bin(1,p) 變量),
則 X = Z1+...+Zn 是 binomial(n,p) 變量.
E[X] = n*E[Z1] = np
Var(X) = n*Var(Z1) = np(1-p).

當然不是巧合，但不是有深層的原因，而是能展現他深層的性格與意義。