數學 試題

對所有 n ≥ 3 ,
令 A1 = 1 , A2 = n-1 , A3 = (n-1)² , A4 = (n-1)³ , ... , An = (n-1)ⁿ⁻¹ ,
則 A1/A2 + A2/A3 + A3/A4 + A4/A5 + … + An/A1
= 1/(n-1) + (n-1)/(n-1)² + (n-1)² /(n-1)³ + ... + (n-1)ⁿ⁻² /(n-1)ⁿ⁻¹ + (n-1)ⁿ⁻¹ /1
= (n-1) 1/(n-1) + (n-1)ⁿ⁻¹ /1
= 1 + (n-1)ⁿ⁻¹ 是正整數。當 n = 2 , 設 A1/A2 = a/b , (a , b互質)
則 A1/A2 + A2/A1 = a/b + b/a = (a² + b²) / (ab) = ( (a² + b²) / a ) / b
= (a + b²/a) / b
因 a , b互質, 故 b²/a 不是整數, 進而a + b²/a亦非整數,
從而 (a + b²/a) / b 也不是整數。故 n ≠ 2。綜上, n ≥ 3。


2014-03-05 02:06:34 補充：
若 b²/a 是整數則 a = 1 ,
那末 A1/A2 + A2/A1 = a/b + b/a = 1/b + b ,只有 b = 1 時才是整數,
得 a = b = 1 不符兩兩不同的正整數。

n=2 ,
a/b + b/a = m (整數)
a/b=x
x^2-mx +1=0 ,正有理根 為 1 ==> a=b (不合)

有無限多組呢
舉例 2 組
1、(2、4)、(8、16)…
1、(3、9、27)、(81、243、729)…
...

2014-03-05 13:02:20 補充：
此型數列都可成立

X^0
X^1
X^2
X^3
...
X^n

n 可被 X 整除

n=3

1/2+2/3+3/1

=(3+4)/6 + 3

=7/6 +3

=\=+Integer

2014-03-05 07:44:32 補充：
不等於正整數

n=4

1/2+2/3+3/4+4/1

=(6+8+9)/12 + 4

=23/12 + 4

不等於正整數