根號(9x^2+4)+根號(9x^2-12xy+4y^2+1

為了計算與待會畫圖方便，我將x,y改成t,s來列式

√(9t^2+4)+√(9t^2-12ts+4s^2+1)+√(4s^2-16s+20)
=√[(0-3t)^2+(0-2)^2] +√[(3t-2s)^2+(0-1)^2] + √[2s-4)^2 + (1-3)^2]

這樣就能看做是
A(0,2)到B(3t,0)的距離 + B(3t,0)到C(2s,1)的距離 + C(2s,1)到D(4,3)的距離

其中A,D為定點，B,C是在y=0和y=1上的動點
題意即可解釋為求線段AB+BC+CD的最小值

現在參考下圖

圖片參考：https://s.yimg.com/rk/AD07982684/o/1421231771.png


橘色部分是任意在y=0和y=1上任取B和C點，
這樣顯然取得AB+BC+CD的最小值

必須對x軸取A(0,2)的對稱點A'(0,-2)，直接往D拉一線段，
這樣A'D即為AB+BC+CD的最小值
而交y=0和y=1的B'和C'點，才是我們真正要的B和C點。

所以AB+BC+CD的最小值 = A'D
此時為求t和s的值，先求A'D的直線方程式
y + 2 = (5/4)x
將(2s,1)代入求得 s = 6/5
將(3t,0)代入求得 t = 8/15

所以a + b = 6/5 + 8/15 = 26/15

^___^



2014-03-03 16:26:26 補充：
第三列改成這樣比較看得懂

=√[(0-3t)^2+(2-0)^2] +√[(3t-2s)^2+(0-1)^2] + √[2s-4)^2 + (1-3)^2]
....................↑↑↑↑...........................................................................

f(x,y)=√(9x^2+4)+√(9x^2-12xy+4y^2+1)+√(4y^2-16y+20)=min,則x+y=?

Ans:

F(x,y)=√(9x^2+4)+√[(3x-2y)^2+1]+2√[(y-2)^2+1]

Fx=F對x偏微分

=9x/√(9x^2+4)+3(3x-2y)/√[(3x-2y)^2+1]

=0 => x=4y/3 or 4y/9

2014-03-03 17:45:27 補充：
Fy=F對y偏微分

=-2(3x-2y)/√[(3x-2y)^2+1]+2(y-2)/√[(y-2)^2+1]

=0 => y=6/5, x=4y/9=8/15

min=F(8/15,6/5)=6.403

=> x+y=8/15+6/5=26/15.....ans